... deel¹

Merk op dat $y$ een reëel getal is.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... functie²

De functie $f(x)$ heet een even functie als voor elke $x$ uit zijn definitieverzameling geldt dat $f(-x) = f(x)$. Voor een oneven functie geldt $f(-x)=-f(x)$. De cos-functie is even, terwijl de sin-functie oneven is.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... licht³

We gebruiken deze term in algemene zin om niet alleen het zichtbare licht, maar het gehele elektromagnetische spectrum aan te duiden.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... aangetroffen⁴

Als we de notatie $\psi = x+iy$ gebruiken, dan volgt direct dat $\psi^* \psi = x^2+y^2 \geq 0 !$ en zien we dat deze kans altijd reëel en positief is.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... werkt⁵

De kracht in de $x$-richting wordt gegeven door $F_x=-{\partial V(x,t) \over \partial x}$ en voor een constante potentiaal werkt er geen kracht op het deeltje.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... oplossing⁶

Een tweede-orde differentiaalvergelijking van het type

$${d^2 \psi \over dx^2} = -K^2 \psi$$ (162)

heeft voor $K^2 \geq 0$ als meest algemene oplossing de functie

$$\psi = Ae^{iKx} + Be^{-iKx} .$$ (163)

Hierbij zijn $A$ en $B$ constanten.

Als geldt dat $K^2 < 0$, dan kan de meest algemene oplossing geschreven worden als

$$\psi = Ae^{Kx} + Be^{-Kx} .$$ (164)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...$k$⁷

Merk op dat $k = {2\pi \over \lambda}$, terwijl volgens de Broglie geldt dat $\lambda = {h \over p}$. Er is dus een relatie tussen golfgetal en impuls, $k={2\pi \over h}p={p \over \hbar}$. Er geldt dus

$${\bf p} = \hbar {\bf k}.$$ (168)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... oplossing⁸

Merk op dat vanwege $E<V_0$ we nu te maken hebben met geval $K^2 < 0$! Zie ook de opmerkingen in voetnoot 4.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... oplossing⁹

Merk op dat vanwege $E>V_0$ we nu te maken hebben met geval $K^2>0$! Zie ook de opmerkingen in voetnoot 4.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...waarschijnlijkheidsflux¹⁰

We interpreteren $\psi^* \psi$ als waarschijnlijkheidsdichtheid. Met deze interpretatie kunnen we een nieuwe lokale grootheid invoeren die de stroming (flux) van de waarschijnlijkheid aangeeft. We beschouwen eerst de vergelijkingen voor vrije deeltjes die beschreven worden door de golffuncties $\Psi (x,t)$ en $\Psi^* (x,t)$. Er geldt

$$-{\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 \over \partial x^2} \Psi = ... ...l x^2} \Psi^* = -i\hbar {\partial \over \partial t} \Psi^* .$$ (192)

Merk op dat beide vergelijkingen gerelateerd zijn door complexe conjugatie. We gebruiken deze uitdrukkingen om de tijdafhankelijkheid van de waarschijnlijkheidsdichtheid van een vrij deeltje te analyseren.

$$\begin{array}{rl} {\partial \over \partial t} \left( \Psi^... ...i^* \over \partial x} \Psi \right) \right] . \\ \end{array}$$ (193)

Deze vergelijking kan herschreven worden tot

$${\partial \over \partial t} P (x,t) + {\partial \over \partial x} j (x,t) =0.$$ (194)

Bovenstaande vergelijking drukt het behoud van waarschijnlijkheid in de tijd uit. Elke verandering in de tijd van de waarschijnlijkheidsdichtheid in een lokaal gebied wordt gecompenseerd door een flux van waarschijnlijkheid in of uit dat lokale gebied. Hiermee wordt ook de waarschijnlijkheidsflux geïntroduceerd, waarvoor geldt

$$j(x,t) = {\hbar \over 2im} \left( \Psi^* {\partial \Psi \o... ...rtial x} - {\partial \Psi^* \over \partial x} \Psi \right) .$$ (195)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...)¹¹

We beperken ons tot eenvoudige complexe getallen, want dit is wat we voor quantum fysica nodig hebben. Wiskundig gezien zouden we ook meer gecompliceerde objecten kunnen beschouwen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... inproduct¹²

Merk op dat geldt $< f \vert g >^* = < g \vert f >$. Verder dienen de functie kwadratisch integreerbaar te zijn, $\int \vert f(x) \vert^2 dx < \infty$, anders bestaat het inproduct van ${\bf f}$ met zichzelf al niet.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... waarschijnlijkheid¹³

Merk op dat in het geval van een complexe toestandsfunctie deze waarschijnlijkheid gegeven wordt door $\psi^*\psi dx$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... plaats¹⁴

Merk op dat men de operator ook als ${\bf E} \equiv {\hbar \over i} {\partial \over \partial t}$ aantreft, die van onze definitie verschilt in een minteken. Dit verschil in keuzemogelijkheid hebben we uitgelegd in paragraaf 5.1.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... oplossen¹⁵

De differentiaalvergelijking

$$-{1 \over \sin{\theta}} {{\rm d} \over {\rm d}\theta} \lef... ...d} \theta} \right)+ {m_l^2 g \over \sin^2{\theta}} = l(l+1) g$$ (435)

kan worden opgelost door aan te nemen dat de oplossing geschreven kan worden als een machtreeks,

$$g= \sum_{l=0}^\infty a_lu^l \equiv a_0 + a_1u + a_2 u^2 +a_3 u^3 + ....,$$ (436)

met $u = \cos{\theta}$. Er geldt dan voor de eerste afgeleide

$${dg \over du} = \sum_{l=1}^\infty l a_l u^{l-1} \equiv 1a_1 + 2a_2 u + 3a_3 u^2 + ....$$ (437)

en voor de tweede afgeleide

$${d^2g \over du^2} = \sum_{l=2}^\infty (l-1)l a_l u^{l-2} \equiv + 1 \cdot 2a_2 + 2 \cdot 3a_3 u + 3 \cdot 4 a_4 u^2 + ....$$ (438)

We substitueren deze uitdrukkingen in de differentiaalvergelijking en stellen de eis dat de individuele coëfficienten voor elke macht van $u$ gelijk aan nul dienen te zijn. Dit levert een recursierelatie en de algemene oplossing.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (gereduceerde¹⁶

De gereduceerde massa voor een twee-deeltjessysteem is gegeven door $m=m_1m_2/m_1+m_2$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... vectoren¹⁷

Als we deze stelling toepassen op operatoren, dan dienen we rekening te houden met de volgorde van de operatoren. Dit omdat de componenten van de operatoren ${\bf \vec r}$ en ${\bf \vec p}$ niet commuteren. Er geldt $[ r_i , p_j ]=r_ip_j - p_jr_i = i\hbar \delta_{ij}$.

$${\bf \vec L}^2 \equiv ({\bf \vec r} \times {\bf \vec p})\cd... ...t{\bf \vec p})^2 +i\hbar ({\bf \vec r} \cdot {\bf \vec p}) .$$ (539)

We gebruiken verder de relatie ${\bf \vec r}\cdot{\bf \vec p}= {\bf r p_r}+i\hbar$ en vinden hiermee het gewenste resultaat.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... matrixvermenigvuldiging¹⁸

Voor het product van twee $2 \times 2$ matrices $A$ en $B$, geldt

$$(AB)_{mn} = \sum_{p=1}^{2} A_{mp}B_{pn},    m,n=1,2.$$ (580)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... hetzelfde¹⁹

Dat hadden we ook meteen kunnen bedenken als we hadden ingezien dat er tussen verschillende richtingen niets te kiezen valt. Daarom heeft de component van ${\bf s}$ in elke willekeurige richting de eigenwaarden $\pm {1 \over 2} \hbar$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... levert²⁰

Merk op dat we met de notatie bedoelen $\dot{c} = {\rm d}c / {\rm d}t$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Sudashan²¹

B. Misra and E.C.G. Sudashan, J. Math. Phys. 18, 756 (1977).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... aangetoond²²

Of die slechts in experimenten voorkwamen, die niet door andere experimentatoren herhaald konden worden!

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... hebben²³

Het zal duidelijk zijn dat niet alle theoretici `enthousiast zijn' over deze gepostuleerde deeltjes. Verder is het onduidelijk of het mogelijk is met tachyonen een signaal (informatie) over te brengen - iets dat in conflict zou zijn met de speciale relativiteitstheorie.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... belang²⁴

en soms ook het magnetische moment, bijvoorbeeld in de hyperfijnwisselwerking.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Tegenwoordig²⁵

We verwaarlozen hier subtiliteiten als bijvoorbeeld de virtuele mesonen in het binnenste van de kern.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... antineutrino²⁶

Een eenvoudige quantummechanische berekening laat zien, dat er teveel energie voor nodig is om een elektron te binden binnen het volume van een kern.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... worden²⁷

De quantumgetallen karakteriseren een bepaalde toestand van een systeem van deeltjes. Ze zijn constant (men zegt behouden) zolang het systeem ongestoord is. Quantumgetallen hebben te maken met behoudswetten. Een voorbeeld is de wet van behoud van lading. Een uitzondering hierbij is de spin, want enkel het totale impulsmoment is behouden: spin en baanimpulsmoment. Verder zijn sommige behoudswetten niet altijd strikt geldig: zoals de wet van behoud van vreemdheid.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... uitgevoerd²⁸

Hij ontving hiervoor in 1936 de Nobelprijs voor de natuurkunde; hij was toen 31 jaar oud. Een jaar later ontdekte hij het muon.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... leptonen²⁹

Oorspronkelijk werden de deeltjes ingedeeld aan de hand van de massa: de lichte deeltjes ofwel leptonen ($e, \nu$) met $mc^2 < 1$ MeV, de middelzware deeltjes ofwel mesonen met $mc^2 \approx 100$ MeV en de zware deeltjes ofwel baryonen met $mc^2 > 1$ GeV. Deze klassificatie is echter niet zinvol: de muonen ($\mu$) en de tau's ($\tau$) gedragen zich analoog aan het elektron, ondanks dat ze een geheel verschillende massa hebben.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... behoudswetten³⁰

We kunnen dit ook anders formuleren: indien de lading (of bijvoorbeeld het baryongetal) strikt behouden is, dan kan het lichtste geladen deeltje, het elektron (of bijvoorbeeld het lichtste baryon, het proton) niet vervallen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... down-quarks³¹

We verwaarlozen voorlopig het feit, dat in het nucleon ook een (omstreden) hoeveelheid $s$, $\bar s$ en andere quarks bijgemengd zijn. Ook worden de drie `kleuren' van de quarks pas later besproken.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... wisselwerking³²

Gedurende de laatste jaren was er regelmatig sprake van een zogenaamde vijfde kracht, die als een modificatie van de gravitatiepotentiaal ingevoerd werd:

$$V_{\rm grav} = -g_{\rm grav} {m_1 m_2 \over r_{12}}(1 - \alpha e^{-{r \over \lambda}}).$$ (647)

Een heranalyse door Fischbach (1986) van de oude data van Eötvos resulteerde aanvankelijk in $\alpha \approx 7 \times 10^{-3}$ en $\lambda \approx 100 - 1000$ m. Fischbach's publicatie gaf aanleiding tot een serie nieuwe experimenten (waaronder zeer geraffineerde metingen met torsieslingers), die aanvankelijk ook aanwijzingen gaven voor het bestaan van zo'n vijfde kracht met een middellange reikwijdte. Op dit moment (1998) is men bezig met een nieuwe reeks zorgvuldige experimenten en de voorlopige resultaten duiden erop dat de effecten te verklaren zijn, zonder dat een additionele wisselwerking ingevoerd dient te worden.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...kernkracht³³

Teneinde verwarring te voorkomen zullen we in het vervolg spreken over de kernkracht, als we de wisselwerking van baryonen en mesonen bedoelen en daarbij hun inwendige structuur, welke bij lage energieën niet van belang is, verwaarlozen. Daarentegen bedoelen we met de sterke wisselwerking die krachten, die tussen de quarks werkzaam zijn.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... gekarakteriseerd³⁴

De zwakke wisselwerking schendt bijvoorbeeld, zoals we later nog uitvoerig zullen bespreken, de pariteit ofwel spiegelsymmetrie.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... ook³⁵

Na enkele dwalingen, want aanvankelijk werden in 1937 muonen ontdekt door Carl Anderson en Neddermayer in experimenten met kosmische straling. Muonen hebben echter totaal niets te maken met de sterke wisselwerking.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...$\Delta t$³⁶

Omdat de energie op tijd teruggegeven dient te worden, de wet van behoud van energie is immers geschonden, noemt men zo'n deeltje een virtueel deeltje. Het kan experimenteel niet worden waargenomen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... gravitatie³⁷

Uiteraard hebben we het nu niet over de complicaties die voortvloeien uit de algemene relativiteitstheorie.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... worden³⁸

We zullen later dieper ingaan op al deze eigenschappen van de kernkracht.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... bosonen³⁹

Wolfgang Pauli, Physical Review 58 (1940) 716.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... als⁴⁰

Indien we twee toestanden beschouwen, dan kan men op analoge wijze schrijven

$$O_{ba} = \int \psi_b^* {\bf O} \psi_a dV,$$ (666)

en $O_{ba}$ wordt het overgangsmatrixelement genoemd tussen de toestanden $a$ en $b$. De verwachtingswaarde van ${\bf O}$ in toestand $a$ is het diagonale element van $O_{ba}$ voor $b=a$,

$$<O>=O_{aa}.$$ (667)

De niet-diagonale elementen corresponderen niet direct met klassieke grootheden. Echter de overgangen tussen toestand $a$ en $b$ zijn gerelateerd aan $O_{ba}$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...unitaire⁴¹

Een unitaire transformatie leidt tot een behouden norm van de golffunctie; dit wil zeggen dat $\int \psi^* \psi dV = \int ({\bf U}\psi )^* {\bf U} \psi dV = \int \psi^* {\bf U}^\dagger {\bf U} \psi dV$, en dus ${\bf U^\dagger U} =1$. Voor een unitaire operator geldt dus dat ${\bf U}^\dagger = {\bf U}^{-1}$. Unitaire operatoren zijn generalisaties van $e^{i \alpha}$, de complexe getallen met absolute waarde 1. Als de operator ${\bf M}$ wordt voorgesteld door een matrix met elementen $M_{ik}$, dan is ${\bf M}^*$ de complex geconjugeerde matrix met elementen $M_{ik}^*$, $\tilde {\bf M}$ met elementen $M_{ki}$ is de getransponeerde matrix, en ${\bf M}^\dagger$ met elementen $M_{ki}^*$ is de hermitisch geconjugeerde matrix. Verder geldt $({\bf AB})^\dagger = {\bf B}^\dagger {\bf A}^\dagger$. ${\bf E} = {\bf I} = {\bf 1}$ is de eenheidsmatrix met elementen $E_{ik} = \delta_{ik}$. De matrix ${\bf H}$ wordt hermitisch genoemd als geldt $H_{ki}^* = H_{ik}$. De matrix ${\bf U}$ is unitair als $U_{ki}^* U_{ik} = U_{ik} U_{ki}^* = \delta_{ik}$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... gelden⁴²

We hadden natuurlijk net zo goed kunnen aannemen dat het systeem over dezelfde afstand in de tegenovergestelde richting verschoven wordt.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... neutrino⁴³

Als we het argument omkeren, dan garandeert de wet van behoud van lading de stabiliteit van de lichtste geladen deeltjes.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... jaar⁴⁴

De samenhang tussen de wet van behoud van lading en het Pauli principe wordt besproken door bijvoorbeeld L.B. Okun, Physics Letters B239 (1990).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Weyl⁴⁵

H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover New York, 1950.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... genoemd⁴⁶

Meer complexe fasetransformaties zijn ook mogelijk, waarbij deze worden gespecificeerd door niet-commuterende operatoren. Men spreekt dan van niet-Abelse groepen. Zo is de groep SU(2) de basis van de elektrozwakke wisselwerking, en de groep SU(3) de basis van de quantum chromodynamica.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... elektrodynamica⁴⁷

De klassieke elektrodynamica wordt volledig gegeven door de vergelijkingen van Maxwell. Deze beschrijven de gekoppelde elektrische, ${\bf E}$, en magnetische, ${\bf B}$, velden en er geldt,

$$\begin{array}{rll} {\bf \nabla \cdot \bf E} & = {\rho \ove... ... & = 0    & {\rm geen magnetische monopolen.}\\ \end{array}$$ (697)

We beschouwen de velden in het vacuüm veroorzaakt door de ladings- en stroomdichtheden $\rho$ en ${\bf J}$. Deze grootheden gehoorzamen aan lokale behoudswetten, die verkregen kunnen worden door afgeleiden te nemen van de Maxwellvergelijkingen. Er geldt

$${\partial \over \partial t}{\bf \nabla \cdot E} = {1 \over \epsilon_0}{\partial \rho \over \partial t},$$ (698)

en

$${\bf \nabla \cdot (\nabla \times B)} -{1 \over c^2} {\bf \... ...tial {\bf E} \over \partial t} = \mu_0 {\bf \nabla \cdot J}.$$ (699)

Vervolgens maken we gebruik van de relaties ${\bf \nabla \cdot (\nabla \times B)} =0$ en $1/c^2=\mu_0\epsilon_0$, en vinden de gezochte relatie tussen lading en stroom, die geldig is op elke lokatie.

$${\bf \partial \rho \over \partial t} + {\bf \nabla \cdot J} =0.$$ (700)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... vervalkanalen⁴⁸

Het zal duidelijk zijn dat het verval $p \rightarrow 3\nu$, dat ook nog ladingsbehoud schendt, moeilijk experimenteel te meten zal zijn. Ook kan men zich nog afvragen of het verval $p \rightarrow {\rm NIETS}$, dat energiebehoud schendt, `denkbaar' is.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... waarom⁴⁹

Een antwoord in de trant van `omdat er een corresponderende ijkinvariantie bestaat', verschuift slechts de vraagstelling!

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... toekennen⁵⁰

We schrijven hier $L_e$ voor het elektronische leptongetal, omdat er nog twee verdere leptongetallen ($L_\mu$, en $L_\tau$) worden ingevoerd (we worden hiertoe later gedwongen).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Reines⁵¹

Zie F. Reines and C.L. Cowan, Physical Review 113 (1959) 273.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... kernreactor⁵²

Aanvankelijk hadden Cowan en Reines ook een atoomexplosie als bron voor elektronische antineutrinos in beschouwing genomen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... ingevangen⁵³

Het element $^{113}$Cd is een uiterst effectieve neutronenabsorber: de werkzame doorsnede heeft een resonantie bij $T_n = 0.0253$ eV met een maximum werkzame doorsnede van $\sigma_{n\gamma} = 2450 \pm 30$ barn.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... zonneneutrinos⁵⁴

De belangstellende lezer(es) zij verwezen naar een artikel van X. Shi en D.N. Schramm, Physics Letters B283 (1992) 305.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...$L_e =-1$⁵⁵

We kunnen op deze plaats niet ingaan op de vraag of beide deeltjes zich `enkel' onderscheiden in hun heliciteit. Indien de deeltjes een, ook al nog zo kleine, massa zouden hebben, dan kunnen deze beide toestanden in elkaar getransformeerd worden (door een Lorentztransformatie van een voldoende hoge snelheid uit te voeren).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... reactie⁵⁶

De belangstellende lezer(es) wordt verwezen naar het artikel van Bellgardt $et$ $al.$, Nuclear Physics B299 (1988) 1. Het betreft hier het zogenaamde SINDRUM experiment op het Paul Scherrer Instituut in Villingen te Zwitzerland.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... treden⁵⁷

Badertscher $et$ $al.$, Nuclear Physics A377 (1982) 106.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... zijn⁵⁸

Het feit dat er slecht één vorm van vitamine C bestaat, die helpt tegen verkoudheid en de andere vorm niet, is geen tegenvoorbeeld! Evenmin het feit dat men in alle café's ter wereld slechts rechtshandige kurketrekkers aantreft.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... vastleggen⁵⁹

We zullen later zien dat het proton en neutron een isospindoublet vormen. Een andere normering zou daarom niet gelukkig gekozen zijn.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Yang⁶⁰

T.D. Lee en C.N. Yang, Physical Review 104 (1956) 257.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... is)⁶¹

Experimentele fysici hadden dit reeds eerder kunnen merken als ze deze invariantie niet altijd als volledig vanzelfsprekend hadden aangenomen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... medewerkers⁶²

C.S. Wu, E. Ambler, R.W. Hayward, D.D. Hopes, en R.P. Hudson, Physical Review 105 (1957) 1413.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... wordt⁶³

Dit is de techniek van adiabatische kerndemagnetisatie van een paramagnetisch zout.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... experiment⁶⁴

Zie het artikel van M. Goldhaber, L. Grodzins, and A.W. Sunyar, Physical Review 109 (1958) 1015.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... experimenten⁶⁵

Zie het artikel van S. Kystrin $et$ $al.$, Physical Review Letters 58 (1987) 1616.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... deuteron⁶⁶

Het deuteron bestaat uit een proton en een neutron, die hoofdzakelijk in een $S$-toestand met baanimpulsmoment $l_{pn}=0$ gebonden zijn.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... artikel⁶⁷

A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen, Physical Review 47, 777 (1935).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... lichtsnelheid⁶⁸

De meter is de lengte van het pad dat afgelegd wordt door licht in vacuum gedurende een tijdinterval van 1/299 792 458 seconde. Met deze definitie is de waarde van $c$ exact.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Lorentztransformatie⁶⁹

Hierbij is de Einsteinconventie gebruikt, hetgeen impliceert dat er gesommeerd wordt over herhaalde indices.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... gedefinieerd⁷⁰

De metriek is een wiskundige beschrijving van de manier waarop afstanden in een ruimte worden gemeten. Men kan zich dit eenvoudig voorstellen als een matrix $g$. De afstand tussen twee punten die beschreven worden door de vectoren ${\bf x}$ en ${\bf y}$ is dan ${\bf x^Tgy}$ (een matrix vermenigvuldiging). Het eenvoudigste voorbeeld is de normale drie-dimensionale ruimte, waarvoor

$$g = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) ,$$ (770)

en ${\bf x}^2 = x_1^2+x_2^2+x_3^2$. De lengte van de vector ${\bf x}$ wordt gegeven door ${\bf x^Tgx}$. In deze appendix geven we de definitie van de metrische tensor zoals we die in de Speciale Relativiteitstheorie gebruiken. Merk op dat in de Algemene Relativiteitstheorie de metrische tensor bepaald wordt door de veldvergelijking

$$G_{\mu \nu} = -{8\pi G \over c^4} T_{\mu \nu} ,$$ (771)

waarbij $T_{\mu \nu}$ de energie-impuls tensor is, en $G_{\mu \nu}$ de Einstein tensor die de kromming van de ruimte beschrijft. De Einstein tensor is opgebouwd uit contracties van de krommingstensor, die een functie is van de metrische tensor $g$ en de eerste- en tweede-orde afgeleiden. De veldvergelijking is dus een differentiaal vergelijking voor de metriek $g$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.