Complexe grootheden

We definiëren de imaginaire eenheid als $i^2 \equiv -1$ en hiermee geldt $i = \sqrt{-1}$. Een complex getal wordt nu geschreven als

$$z \equiv x+iy,$$ (19)

waarbij $x={\rm Re} z$ het reële deel en $y={\rm Im} z$ het imaginaire deel¹ van $z$ is. Verder geldt er dezelfde algebra als voor gewone getallen. Bijvoorbeeld hebben we $z_1=z_2$ als $x_1=x_2$ en $y_1=y_2$.

De complex geconjugeerde van $z=x+iy$ duiden we aan met $z^*$ en er geldt

$$z^* \equiv x-iy,     {\rm complex geconjugeerde van }z.$$ (20)

Hiermee geldt

$$z^*z = (x-iy)(x+iy)=x^2-i^2y^2-ixy+ixy=x^2-i^2y^2=x^2+y^2.$$ (21)

Dit doet direct denken aan de stelling van Pythagoras. We zien hier de definitie van het inprodukt voor complexe getallen. Fig. 4 geeft hiervan een geometrische voorstelling in het complexe vlak.

Figuur 4: Representatie van het complexe getal $z$ door het punt met label $P$ in het complexe vlak.

Het complexe vlak wordt gevormd door de reële en imaginaire as. We kunnen het getal $z$ voorstellen door het punt $P$ met cartesische coördinaten $x = r\cos{\alpha}$ en $y = r\sin{\alpha}$, waarbij men $r$ de modulus en $\alpha$ de fase noemt. Er geldt dan dat $r^2 = x^2 +y^2$ en dus

$$z = r(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})    {\rm en}    z^*z = r^2 = x^2+y^2.$$ (22)

Fig. 5 geeft de rotatie weer in het complexe vlak van punt $P$ naar $P^\prime$ over een kleine hoek $d\alpha$. Hierbij ligt punt $P$ op de reële as. We merken op dat

$$dz = izd\alpha \rightarrow {dz \over z}=id\alpha .$$ (23)

Integratie van een eindige rotatie over hoek $\alpha$ levert

$$\int_{z_{\rm begin}}^{z_{\rm eind}} {dz \over z}=i\int_0^\a... ...  \rightarrow   z_{\rm eind} = z_{\rm begin} e^{i\alpha} .$$ (24)

Figuur 5: Rotatie over een infinitesimale hoek $d\alpha$ van het punt met label $P$ in het complexe vlak.

We nemen vervolgens $r=1$ en dus $z_{\rm begin} = 1$ en vinden $z_{\rm eind} = \cos{\alpha} +i\sin{\alpha}$. Vergelijken van beide resultaten geeft de stelling van Euler,

$$e^{i\alpha} = \cos{\alpha} +i\sin{\alpha} .$$ (25)

Uit een rotatie in negatieve zin vinden we

$$e^{-i\alpha} = \cos{\alpha} -i\sin{\alpha} .$$ (26)

Combineren van de laatste twee vergelijkingen levert de uitdrukkingen

$$\cos{\alpha} = {e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} \over 2}    {\rm en}     \sin{\alpha} = {e^{i\alpha} - e^{-i\alpha} \over 2i}.$$ (27)

We kunnen met behulp van de stelling van Euler de complex geconjugeerde definiëren als

$$\left( e^{i\alpha} \right) ^* = e^{-i\alpha} .$$ (28)

Verder geldt ook $r^2 =z^*z=\left( e^{i\alpha}\right) ^* e^{i\alpha} =e^{-i\alpha}e^{i\alpha} = e^0 =1$.

We kunnen de complexe exponent als volgt differentiëren,

$${d e^{i\alpha} \over d\alpha} = ie^{i\alpha} .$$ (29)

Merk op dat we vaak functies als $e^{ikx}$, $e^{i(kx-\omega t)}$ en $e^{-iEt/k}$ zullen gebruiken. We hebben dan bijvoorbeeld

$${d e^{ikx} \over dx} = ike^{ikx} .$$ (30)

Tenslotte merken we op dat de veel voorkomende superpositie van vlakke golven,

$$\psi (x,t) =\cos{(kx-\omega t)} + \gamma \sin{(kx -\omega t)},$$ (31)

met $\gamma = \pm i$ geschreven kan worden als

$$\psi (x,t) =e^{\pm i(kx-\omega t)}.$$ (32)

Deze functies stellen vlakke golven voor van een vrij deeltje met golfgetal $k$ en hoekfrequentie $\omega$.