Lokale ijksymmetrieën

We hebben gezien dat een globale ijktransformatie, $\epsilon = {\rm constant} \not = \epsilon (\vec r, t)$, leidt tot ladingsbehoud, waarbij we dienen op te merken dat we deze lading nog niet hebben geïdentificeerd met de elektrische lading. Elektrische lading is behouden in elk ruimtetijd punt, en we hebben te maken met een lokale behoudswet. Het is daarom wenselijk, maar ook esthetisch aantrekkelijk, om de fase van de golffunctie, $e^{i \epsilon {\bf Q}}$, vrij te kunnen kiezen, op elk ruimtetijd punt. We willen vergelijking (704) voor de golffunctie van een geladen deeltje (bijvoorbeeld een quark, of een geladen lepton) generaliseren naar

$$\psi_q^\prime = e^{i\epsilon (\vec r ,t) {\bf Q}} \psi_q = e^{i\epsilon (x) {\bf Q}} \psi_q .$$ (695)

De oneindige set fasetransformaties (706) vormen een unitaire groep genaamd U(1). Omdat $\epsilon (x)$ een scalaire grootheid is, wordt de groep U(1) Abels genoemd⁴⁶. De lokale ijktransformatie (706) creëert verschillende fases voor $\psi_q$ op verschillende lokaties in ruimtetijd. De beschrijving van een vrij geladen deeltje wordt gegeven door vergelijking (701) en bevat afgeleiden naar $x = t, \vec x$. Deze afgeleiden zijn niet invariant onder lokale ijktransformaties. We zien bijvoorbeeld

$${\partial \psi_q^\prime \over \partial t} = e^{i\epsilon ... ...{i\epsilon (x) {\bf Q}}{\partial \psi_q \over \partial t} .$$ (696)

De tweede term, met $\partial \epsilon / \partial t$, bevat willekeurige functies van ruimtetijd en deze verhinderen de invariantie van de vergelijkingen. We dienen nieuwe dynamica toe te voegen aan het systeem, indien we aan het principe van lokale symmetrie willen vasthouden. Lokale ijkinvariantie kan bereikt worden door een nieuw dynamisch veld in te voeren, en ons deeltje (quark of geladen lepton) te laten koppelen aan dat veld. Voordat we deze procedure uitvoeren, maken we een korte excursie naar de elektrodynamica⁴⁷.

We definiëren de vector en scalaire potentialen, ${\bf A}$ en $\phi$, waarvoor geldt

$$\bf {B} = {\bf\nabla \times A}  {\rm en}   \bf {E} = -{\bf\nabla} \phi - {\partial {\bf A} \over \partial t}.$$ (701)

Hiermee kunnen we het systeem van gekoppelde vergelijkingen vereenvoudigen. Het is reeds lang bekend, dat met vergelijking (712) de velden ${\bf E}$ en ${\bf B}$ niet uniek gedefinieerd zijn. Historisch gezien is dit de eerste manifestatie van een ijksymmetrie, en wel in de klassieke elektrodynamica. We zien namelijk dat ${\bf B}$ en ${\bf E}$ in vergelijking (712) invariant zijn als we ${\bf A}$ en $\phi$ vervangen door

$${\bf A}^\prime = {\bf A} + \nabla \epsilon ,  {\rm en}   \phi^\prime = \phi + {\partial \epsilon \over \partial t}.$$ (702)

De grootheid $\epsilon (\vec r ,t) = \epsilon (x)$ is een willekeurige scalaire functie van ruimtetijd. Elke lokale verandering in de elektrische potentiaal kan gecombineerd worden met een corresponderende verandering in de magnetische potentiaal, zodanig dat ${\bf E}$ en ${\bf B}$ invariant zijn. Dergelijke herdefinities hebben dus geen gevolgen voor de klassiek observabele velden ${\bf E}$ en ${\bf B}$, en we concluderen dat de klassieke elektrodynamica een ijkinvariant formalisme is. We kunnen deze vrijheid in de definitie van de potentialen gebruiken om ongekoppelde (of in ieder geval meer eenvoudige) differentiaalvergelijkingen te verkrijgen voor ${\bf A}$ en $\phi$.

Deze formele behandeling van de elektromagnetische potentialen krijgt een nieuwe en belangrijke betekenis als we het quantumgedrag van een geladen deeltje beschouwen in een ijkinvariante theorie. De waarschijnlijkheid om het deeltje ergens aan te treffen wordt gegeven door de golffunctie $\psi_q$. Het is belangrijk in te zien dat $\psi_q$ niet het elektrische veld van een deeltje (bijvoorbeeld een elektron), maar het materiële veld voorstelt. We hebben gezien dat de eis van lokale ijksymmetrie van de golffunctie verschillen in fase creëerde tussen verschillende ruimtetijd coördinaten. We kunnen verhinderen dat deze arbitraire effecten observabel worden door de elektromagnetische potentialen te gebruiken als ijkvelden. Als we de functie $\epsilon (x)$ in vergelijking (707) identiek kiezen aan de functie in vergelijkingen (713), dan compenseert de ijktransformatie van ${\bf A}$ en $\phi$ precies de willekeurige faseveranderingen van de golffunctie $\psi_q$. Omdat de faseverschillen over willekeurig grote afstanden gecompenseerd dienen te worden, dient het ijkveld, $A_\mu = (A_0 , \vec A) = (\phi , {\bf A})$ een oneindige dracht te hebben. Het hiermee corresponderende quantum, het foton, dient daarom een massa te hebben die bij gelijk is aan nul. Het ijkveld $A_\mu$ is een vectorveld en daarom dient de spin van het ijkdeeltje gelijk te zijn aan één. Het opgestelde formalisme voor $\psi_q$, ${\bf A}$ en $\phi$ vertegenwoordigt hiermee een theorie die lokaal ijkinvariant is.

Teneinde deze lokale ijkinvariantie te demonstreren, gaan we over van de bewegingsvergelijking van een vrij deeltje naar die van een deeltje dat wisselwerkt met het ijkveld. Hiertoe herdefiniëren we de energie- en impulsoperatoren,

$$i\hbar {\partial \over \partial t} \rightarrow i\hbar {\pa... ...\over i} \nabla \rightarrow {\hbar \over i}\nabla - q{\bf A},$$ (703)

en kunnen we de Schrödingervergelijking voor een geladen deeltje dat wisselwerkt met het ijkveld $A_\mu$ schrijven als,

$$\left( i\hbar {\partial \over \partial t} -q\phi \right) \p... ...( {\hbar \over i} {\bf\nabla} -q{\bf A} \right)^2 \psi_q .$$ (704)

Deze substituties worden de minimale substitutie genoemd, en de Schrödingervergelijking is hiermee lokaal ijkinvariant en we hebben

$$\begin{array}{rl} \left( i\hbar {\partial \over \partial t... ...i} {\bf\nabla} -q{\bf A} \right)^2 \psi_q . \\ \end{array}$$ (705)

De structuur van vergelijking (715) is kennelijk zodanig dat de willekeurige faseveranderingen van $\psi_q$ opgeheven worden door het ijkgedrag van ${\bf A}$ en $\phi$. De interpretatie van de parameter $q$ wordt duidelijk als we vergelijking (715) herschrijven als

$$i\hbar {\partial \psi_q \over \partial t} = {1 \over 2m} \... ...er i} {\bf\nabla} -q{\bf A} \right)^2 \psi_q +q\phi \psi_q .$$ (706)

We zien hier de vertrouwde uitdrukking voor de Schrödingervergelijking van een deeltje in een elektromagnetisch veld, waarbij de tweede term de elektrostatische potentiële energie (Coulomb energie) vertegenwoordigt, $V=q \phi$. We kunnen $q$ nu identificeren met de elektrische lading.

Samenvattend komen we tot de opmerkelijke conclusie dat de eis van lokale ijkinvariantie zowel het bestaan als de vorm van de interactie dicteert. Uit het formalisme volgt dat de massa van het ijkdeeltje, het foton, gelijk moet zijn aan nul. Verder dient de spin van het ijkdeeltje gelijk te zijn aan één. Het principe van ijksymmetrie kan ook toegepast worden op de relativistische golfvergelijking voor spin-${1 \over 2}$ deeltjes, de Dirac vergelijking. De eis dat aan lokale U(1) symmetrie dient te zijn voldaan, leidt dan tot de ijkinvariante theorie die quantum elektrodynamica heet.