Connectie met de quantummechanica

We merken op dat de golffunctie, bijvoorbeeld opgebouwd uit harmonische golven $\psi = e^{i(kx-\omega t)}$, veelal een complexe functie is met een reëel en een imaginair deel. De waarschijnlijkheidsdichtheid wordt gegeven door

$$P(x,t) = \psi^* \psi ,$$ (133)

waarbij $Pdx$ de kans voorstelt dat het deeltje wordt aangetroffen⁴ in het interval $(x,x+dx)$.

We normeren de golffunctie van een deeltje zo, dat geldt

$$\int_{-\infty}^{+\infty} Pdx = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi^* \psi dx = 1.$$ (134)

De verwachtingswaarde $< x >$ van de positie is

$$< x > = \int_{-\infty}^{+\infty} xPdx = \int_{-\infty}^{+\... ...nfty}^{+\infty} \psi^* x \psi dx = <\psi \vert x \vert \psi>,$$ (135)

terwijl voor elke observabele $O$ geldt dat zijn verwachtingswaarde $<O>$ gegeven is door

$$<O> = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi^* {\bf O} \psi dx = <\psi \vert {\bf O} \vert \psi > ,$$ (136)

waarbij ${\bf O}$ een Hermitische operator is.