Inleiding

Waarschijnlijkheid speelt een centrale rol in de quantummechanica. We zullen de basisbegrippen verduidelijken aan de hand van een concreet voorbeeld. Stelt U zich hierbij een kamer voor met 14 mensen waarvan de leeftijd als volgt gegeven is:

een persoon is 14 jaar, een persoon is 15 jaar, drie personen zijn 16 jaar, twee personen zijn 22 jaar, twee personen zijn 24 jaar, vijf personen zijn 25 jaar.

Als we stellen dat $N(j)$ het aantal mensen met leeftijd $j$ voorstelt, dan hebben we nu

$N(14) = 1$, $N(15) = 1$, $N(16) = 3$, $N(22) = 2$, $N(24) = 2$, $N(25) = 5$,

terwijl $N(17)$, bijvoorbeeld, gelijk is aan nul. Het totaal aantal mensen in de kamer is

$$N = \sum_{j=0}^\infty N(j).$$ (116)

Figuur 22: Histogram van het aantal mensen, $N(j)$, met leeftijd $j$, dat zich in een bepaalde kamer bevindt.

Fig. 22 geeft een histogram van de data. Men kan onder meer de volgende vragen stellen over deze verdeling.

• Als U willekeurig een persoon van deze groep kiest, wat is dan de waarschijnlijkheid dat de leeftijd van deze persoon 15 is? Antwoord: Één op de 14, want er zijn 14 mogelijke keuzes ($N=14$), die elk even waarschijnlijk zijn, waarvan er slechts één deze bepaalde leeftijd heeft. Als $P(j)$ de waarschijnlijkheid is om leeftijd $j$ te kiezen, dan is $P(14) = 1/14$, $P(15) = 1/14$, $P(16) = 3/14$, enzovoort. In het algemeen,
  

  $$P(j) = {N(j) \over N}.$$ (117)

  
  
  Merk op dat de waarschijnlijkheid om of 14 of 15 te kiezen gelijk is aan de som van de individuele waarschijnlijkheden (in dit geval $1/7$). In het bijzonder moet gelden dat de som van alle waarschijnlijkheden gelijk is aan 1. Dus
  

  $$\sum_{j=1}^\infty P(j) = 1.$$ (118)

  
  

• Wat is de meest waarschijnlijke leeftijd? Het antwoord is 25, want vijf van de mensen delen deze leeftijd, terwijl op zijn meest drie een andere leeftijd delen. In het algemeen is de meest waarschijnlijke $j$, die $j$ waarvoor $P(j)$ maximaal is.
• Wat is de mediane leeftijd? Het antwoord is 23, want 7 mensen zijn jonger dan 23 en er zijn 7 ouder dan 23. In het algemeen is de mediaan die waarde van $j$ waarvoor de waarschijnlijkheid om een groter resultaat te krijgen hetzelfde is als die voor een kleiner resultaat.
• Wat is de gemiddelde leeftijd? Het antwoord is
  

  $${(14) + (15) + 3(16) + 2(22) + 2(24) + 5(25) \over 14} = {294 \over 14} = 21.$$ (119)

  
  
  In het algemeen wordt de gemiddelde waarde van $j$ (hetgeen we noteren als $<j>$) gegeven door
  

  $$< j > = {\sum jN(j) \over N} = \sum_{j=0}^\infty jP(j) .$$ (120)

  
  
  Merk op dat het niet nodig is dat er iemand in de kamer is met een gemiddelde leeftijd of mediane leeftijd - in dit voorbeeld is er niemand die 21 of 23 jaar oud is. In de quantummechanica is de gemiddelde waarde meestal de belangrijkste grootheid. We noemen het dan de verwachtingswaarde. Dit is een misleidende term omdat het suggereert dat het de meest waarschijnlijke uitkomst is die men zou krijgen bij een enkele meting (maar dat is de meest waarschijnlijke waarde).
• Wat is het gemiddelde van het kwadraat van de leeftijden? Antwoord: Men kan $14^2 = 196$ vinden met waarschijnlijkheid 1/14, of $15^2 = 225$ met waarschijnlijkheid $1/14$, of $16^2 = 256$ met waarschijnlijkheid $3/14$, enzovoort. Het gemiddelde is dan
  

  $$< j^2 > = \sum_{j=0}^\infty j^2 P(j).$$ (121)

  
  
  In het algemeen is de gemiddelde waarde voor een functie van $j$ gegeven door
  

  $$< f(j) > = \sum_{j=0}^\infty f(j) P(j).$$ (122)

  
  
  Merk op dat het gemiddelde van de kwadraten, $<j^2>$, in het algemeen niet gelijk is aan het kwadraat van het gemiddelde, $<j>^2$. Stel je voor dat de kamer slechts twee babies bevat met leeftijden 1 en 3 jaar, dan is $<x^2>= 5$, maar $<x>^2 = 4$.

Figuur 23: Twee histogrammen met dezelfde mediaan, hetzelfde gemiddelde en dezelfde meest waarschijnlijke waarde, alsook een gelijk aantal elementen. Er is echter een verschil in de `spreiding' van de verdelingen, ten opzichte van de gemiddelde waarde.

Fig. 23 toont twee histogrammen die er verschillend uitzien, terwijl ze dezelfde mediaan, hetzelfde gemiddelde en dezelfde meest waarschijnlijke waarde, alsook een gelijk aantal elementen hebben. De eerste is echter scherp gepiekt rond de gemiddelde waarde, terwijl de tweede breed en vlak is. We hebben een numerieke maat nodig voor de grootte van de `spreiding' in een verdeling, ten opzichte van de gemiddelde waarde. Recht toe recht aan zouden we zeggen dat we voor elk element de afwijking van het gemiddelde bepalen, $\Delta j = j - <j>,$ om vervolgens het gemiddelde van $\Delta j$ uit te rekenen. Het is probleem is echter dat we in dat geval altijd nul zullen vinden, omdat, vanwege de aard van het gemiddelde, $\Delta j$ even vaak positief als negatief zal zijn,

$$< \Delta j > = \sum (j-<j> )P(j) = \sum jP(j) - <j>\sum P(j) = <j> - <j> = 0.$$ (123)

Merk op dat $<j>$ constant is en daarom buiten de sommatie genomen kan worden. Om dit probleem te omzeilen kunnen we besluiten om het gemiddelde uit te rekenen en gebruik te maken van absolute waarden voor $\Delta j$. We geven er echter de voorkeur aan om het probleem op te lossen door het kwadraat te nemen voordat we middelen,

$$\sigma^2 \equiv <(\Delta j )^2 >.$$ (124)

Deze grootheid staat bekend als de variantie van een verdeling, terwijl $\sigma$ de standaarddeviatie genoemd wordt. Voor standaarddeviaties geldt het volgende

$$\begin{array}{ll} \sigma^2 & = <(\Delta j)^2> = \sum(\Delt... ...j>^2 \sum P(j) \\ & = <j^2> - 2<j><j> + <j>^2, \end{array}$$ (125)

ofwel

$$\sigma^2 = <j^2> - <j>^2.$$ (126)

Bovenstaande vergelijking geeft een snelle manier om $\sigma$ uit te rekenen: bereken $<j^2>$ en $<j>^2$ en trek de twee getallen van elkaar af. Omdat $\sigma^2$ niet-negatief is, moet gelden

$$<j^2>  \geq <j>^2,$$ (127)

en de twee waarden zijn slechts dan aan elkaar gelijk als $\sigma = 0$.

Tot zover heb ik in de beschouwingen aangenomen dat we te maken hebben met een discrete variabele (in ons geval namen we voor $j$ een integer aan). We kunnen het formalisme echter eenvoudig generaliseren tot continue distributies. Als men een willekeurig persoon op straat selecteert, dan is de waarschijnlijkheid dat haar leeftijd gelijk is aan 18 jaar, 3 maanden, 1 week en 3,1892 seconden gelijk aan nul. Het is zinvoller te spreken van een leeftijd die ligt in een interval - bijvoorbeeld tussen 18 jaar en 18 jaar en 1 maand. Indien het interval voldoende klein is, dan is de waarschijnlijkheid evenredig met de lengte van het interval. Technisch gezien kiezen we infinitesimaal kleine intervallen en vinden dan dat de waarschijnlijkheid dat een de leeftijd van een willekeurig persoon ligt tussen $x$ en $(x+dx)$ gelijk is aan $\rho (x)dx$. De evenredigheidsfactor, $\rho (x)$, wordt vaak losjes `de kans om $x$ te vinden' genoemd, maar een betere term is waarschijnlijkheidsdichtheid. De waarschijnlijkheid dat $x$ ligt tussen $a$ en $b$ (een eindig interval) wordt gegeven door de integraal

$$P_{ab} = \int_a^b \rho (x) dx,$$ (128)

en de regels die we voor discrete verdelingen gevonden hebben vertalen zich vanzelfsprekend tot

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \rho (x) dx = 1,$$ (129)

$$<x> = \int_{-\infty}^{+\infty} x \rho (x) dx,$$ (130)

$$<f(x)> = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \rho (x) dx,$$ (131)

$$\sigma^2 \equiv <(\Delta x)^2 > = <x^2> - <x>^2.$$ (132)