Het verstoorde systeem

Als we de storingsterm, $H^\prime (t)$, aanzetten, zal $\Psi (t)$ veranderen. Deze golffunctie kan echter nog steeds worden geschreven als een lineaire combinatie van de complete verzameling $\psi_a$ en $\psi_b$. Het verschil is echter dat de coëfficiënten een functie van de tijd worden. We vinden

$$\Psi (t) = c_a(t) \psi_ae^{-iE_at/\hbar} + c_b(t) \psi_be^{-iE_bt/\hbar}.$$ (603)

We dienen nu $c_a(t)$ en $c_b(t)$ te bepalen. Stel dat we beginnen met $c_a(0) = 1$ en $c_b(0) = 0$ en enige tijd later vinden we $c_a(t_1) = 0$ en $c_b(t_1) = 1$, dan heeft het systeem een overgang van $\psi_a$ naar $\psi_b$ gemaakt.

We kunnen $c_a(t)$ en $c_b(t)$ bepalen door van $\Psi (t)$ te eisen dat het voldoet aan de tijdafhankelijke Schrödingervergelijking,

$$H\Psi = i\hbar {\partial \Psi \over \partial t},    {\rm met}     H = H_0 + H^\prime (t).$$ (604)

Invullen van vergelijking (611) in (612) levert²⁰

$$c_a\left[ H_0\psi_a\right] e^{-iE_at/\hbar} +c_b\left[ H_0\psi_b\... ...si_a\right] e^{-iE_at/\hbar} +c_b\left[ H^\prime \psi_b\right] e^{-iE_bt/\hbar}$$

$$= i\hbar\left[ \dot{c}_a\psi_a e^{-iE_at/\hbar} +\dot{c}_b\psi... ...\hbar} +c_b\psi_b \left( -{iE_b \over \hbar} \right) e^{-iE_bt/\hbar} \right] .$$

Tengevolge van vergelijking (607) vallen de eerste twee termen links weg tegen de laatste twee termen rechts en vinden we

$$c_a\left[ H^\prime \psi_a\right] e^{-iE_at/\hbar} +c_b\lef... ...{-iE_at/\hbar} +\dot{c}_b\psi_b e^{-iE_bt/\hbar} \right] .$$ (605)

We kunnen $\dot{c}_a$ weer op de standaard manier isoleren: neem het inproduct met $\psi_a$ en maak gebruik van de orthogonaliteit van $\psi_a$ en $\psi_b$. We vinden dan

$$c_a <\psi_a \vert H^\prime \vert \psi_a > e^{-iE_at/\hbar} ... ... e^{-iE_bt/\hbar} =i\hbar \dot{c}_a\psi_a e^{-iE_at/\hbar}.$$ (606)

Ter afkorting definiëren we

$$H_{ij}^\prime \equiv < \psi_i \vert H^\prime \vert \psi_j > .$$ (607)

Merk op dat de Hermiticiteit van $H^\prime$ ervoor zorgt dat $H_{ji}^\prime = (H_{ij}^\prime )^*$. We vermenigvuldigen vervolgens met $-(i/ \hbar )e^{iE_at/\hbar}$ en concluderen dat

$$\dot{c}_a = -{i \over \hbar} \left[ c_a H_{aa}^\prime + c_b H_{ab}^\prime e^{-i(E_b - E_a) t/\hbar} \right] .$$ (608)

Op dezelfde manier kunnen we met het inproduct met $\psi_b$ de term $\dot{c}_b$ eruit distilleren,

$$c_a <\psi_b \vert H^\prime \vert \psi_a > e^{-iE_at/\hbar} ... ...> e^{-iE_bt/\hbar} =i\hbar \dot{c}_b\psi_b e^{-iE_bt/\hbar}$$ (609)

en dus

$$\dot{c}_b = -{i \over \hbar} \left[ c_b H_{bb}^\prime + c_a H_{ba}^\prime e^{i(E_b - E_a) t/\hbar} \right] .$$ (610)

Vergelijkingen (617) en (619) bepalen $c_a(t)$ en $c_b(t)$. Samen zijn ze volledig equivalent aan de tijdafhankelijke Schrödingervergelijking van het twee-niveaus systeem. In het algemeen zijn de diagonale elementen van $H^\prime$ gelijk aan nul, $H_{aa}^\prime = H_{bb}^\prime = 0$. In dat geval vinden we als oplossingen

$$\dot{c}_a = -{i \over \hbar} H_{ab}^\prime e^{-i\omega_0 t/... ... -{i \over \hbar} H_{ba}^\prime e^{-i\omega_0 t/\hbar} c_a,$$ (611)

met

$$\omega_0 \equiv {E_b - E_a \over \hbar}.$$ (612)

We nemen aan dat $E_b \geq E_a$ en dat $\omega_0 \geq 0$.