Sinusvormige verstoringen

Stel dat de verstoring een sinusvormige tijdafhankelijkheid heeft, $H^\prime ({\bf r},t) = V({\bf r})\cos{\omega t}$, zodat $H_{ab}^\prime = V_{ab} \cos{\omega t}$ met $V_{ab} \equiv < \psi_a \vert V \vert \psi_b >$. We nemen aan dat de diagonale matrixelementen weer nul zijn. In eerste-orde storingsrekening gaat vergelijking (623) nu over in

$$c_b(t) \approx -{i \over \hbar} V_{ba} \int_0^t \cos{(\omeg... ...rime} + e^{i(\omega_0 - \omega )t^\prime} \right] dt^\prime$$ (614)

en er geldt als eindresultaat

$$c_b(t) \approx -{V_{ba} \over 2\hbar} \left[ {e^{i(\omega... ...mega_0 - \omega )t} -1 \over \omega_0 - \omega } \right] .$$ (615)

We kunnen deze uitdrukking vereenvoudigen als we enkel naar storingsfrequenties, $\omega$, kijken die dicht bij de overgangsfrequentie, $\omega_0$, liggen. In dat geval domineert de tweede term in vergelijking (626). Specifiek nemen we aan dat $\omega_0 + \omega \gg \vert \omega_0 - \omega \vert$. Dit vormt geen ernstige beperking, omdat verstoringen bij deze andere frequenties een verwaarloosbare waarschijnlijkheid hebben om een overgang de induceren. We vinden dan

$$c_b(t) \approx -{V_{ba} \over 2\hbar} {e^{i(\omega_0 - \o... ...} \over \omega_0 - \omega } e^{i(\omega_0 - \omega )t/2} .$$ (616)

De overgangswaarschijnlijkheid - de waarschijnlijkheid dat een deeltje dat zich initieel in toestand $\psi_a$ bevindt, een tijd $t$ later wordt aangetroffen in toestand $\psi_b$ - is

$$P_{a \rightarrow b} (t) = \vert c_b(t) \vert^2 \approx {\v... ..._0 - \omega )t/2 \right]} \over ( \omega_0 - \omega )^2} .$$ (617)

Figuur 43: Overgangswaarschijnlijkheid als functie van de tijd voor een sinusvormige verstoring.

Het is opmerkelijk dat als functie van de tijd, de overgangswaarschijnlijkheid sinusvormig oscilleert. Dit is aangegeven in Fig. 43. Eerst gaat de waarschijnlijkheid naar een maximum, $\vert V_{ab} \vert^2 / \hbar^2 (\omega_0 - \omega )^2$, dat trouwens noodzakelijkerwijs behoorlijk kleiner is dan 1, anders zou immers de verstoring niet klein zijn, om daarna weer naar nul te gaan. Als je je kansen om een overgang te induceren wilt maximaliseren, dan moet je de verstoring niet continue aan laten staan. Je kunt hem beter uitschakelen na een tijd $\pi / \vert \omega_0 - \omega \vert$. Dit flip-flop gedrag is geen artifact van storingsrekening - het gebeurd ook in een exacte beschrijving!

Figuur 44: Overgangswaarschijnlijkheid als functie van de frequentie van de sinusvormige verstoring.

De waarschijnlijkheid om een overgang te induceren is het grootst als de aangelegde frequentie dicht bij de `natuurlijke' frequentie $\omega_0$ is. Dit wordt getoond in Fig. 50, waar $P_{a \rightarrow b}$ geplot is als functie van de frequentie $\omega$. De piek heeft een hoogte $( \vert V_{ab} \vert t /2\hbar )^2$ en een breedte $4\pi /t$. De piek wordt dus hoger en smaller naarmate de tijd voortschrijdt (merk op dat dit resultaat slechts geldig is voor relatief kleine tijden $t$, vanwege de toepasbaarheid van storingsrekening).