Tijdafhankelijk storingsrekening

Het resultaat gegeven in vergelijking (620) is exact en er is geen aanname gemaakt over de grootte van de verstoring. Echter, als $H^\prime$ klein is, dan kunnen we vergelijking (620) oplossen met een stapsgewijze benaderingsmethode. Stel dat het deeltje begint in de laagste toestand, met $c_a(0) = 1$ en $c_b(0) = 0$. Als er helemaal geen verstoring zou zijn, dan zou dit voor altijd de toestand blijven.

Nulde-orde:

$$c_a^{(0)}(t)=1,    c_b^{(0)}(t)=0.$$ (613)

Teneinde de eerste-orde benadering te berekenen vullen we deze waarden in in het rechterlid van vergelijking (620).

Eerste-orde:

$${dc_a \over dt} = 0  \Rightarrow  c_a^{(1)}(t) = 1;$$

$${dc_b \over dt} = -{i \over \hbar} H_{ba}^\prime e^{i\omega_0t}   \Rightarrow  c_b... ...ver \hbar}\int_0^t H_{ba}^\prime (t^\prime ) e^{i\omega_0 t^\prime }dt^\prime .$$

Vervolgens vullen we deze vergelijkingen weer in in het rechterlid en vinden de tweede-orde benadering:

Tweede-orde:

$${dc_a \over dt} = -{i \over \hbar} H_{ab}^\prime e^{-i\omega_0 t } \left( - {i \ove... ...ar} \right) \int_0^t H_{ba}^\prime (t^\prime ) e^{i\omega_0 t^\prime }dt^\prime$$

$$c_a^{(2)}(t) = 1 - {1 \over \hbar^2} \int_0^t H_{ab}^\prime (t^\prime ) e^{-i\om... ...prime} ) e^{i\omega_0 t^{\prime \prime} }dt^{\prime \prime} \right] dt^\prime ,$$

terwijl $c_b$ onveranderd blijft, $c_b^{(2)}(t) = c_b^{(1)}(t)$. Merk op dat met deze notatie $c_a^{(2)}(t)$ de nulde-orde term bevat.

In principe kunnen we deze procedure oneindig vaak herhalen om de precisie te vergroten.