Lorentzinvariantie

Het principe van de Speciale Relativiteitstheorie stelt dat de natuurwetten invariant zijn onder een specifieke klasse van ruimte-tijd coördinatentransformaties, de Lorentztransformaties. Lorentzinvariantie is een symmetrie die eist dat de structuur van alle natuurwetten gelijk is voor alle inertiaalsystemen. Dit betekent dat alle inertiaalsystemen gelijkwaardig zijn voor alle natuurkundige wetten, er is geen voorkeursysteem. Natuurkundige wetten geven relaties tussen gebeurtenissen. Een gebeurtenis wordt onder meer gekarakteriseerd door drie getallen ${\bf x} = (x, y, z)$ die de plaats aangeven en een getal $t$ dat de tijd aangeeft waarop de gebeurtenis plaatsvindt. In een ander referentiesysteem gelden andere getallen ${\bf x^\prime} = (x^\prime , y^\prime , z^\prime )$ en $t^\prime$ voor dezelfde gebeurtenis. Heeft men te doen met twee inertiaalsystemen, waarvan het tweede zich met een snelheid $\beta$ (uitgedrukt in eenheden van $c$) in de $x$-richting ten opzichte van het eerste beweegt, dan geldt volgens de speciale relativiteitstheorie dat de waarden $({\bf x^\prime},t^\prime )$ en $({\bf x},t)$ voor de gebeurtenis, zoals gemeten in $S^\prime$ en $S$, door een Lorentztransformatie aan elkaar gerelateerd zijn,

$$\begin{array}{rl} t^\prime & = \gamma (t-\beta x), \\ x^... ... \\ y^\prime & = y, \\ z^\prime & = z. \\ \end{array}$$ (764)

De Lorentzfactor is gegeven door $\gamma = 1/ \sqrt{1 - \beta^2}$.

We kunnen vergelijking 775 ook in matrixnotatie schrijven en vinden dan de volgende uitdrukking voor de Lorentztransformatie⁶⁹

$$x^{\mu \prime} = \Lambda_\nu^\mu x^\nu,$$ (765)

waarbij de viervector $x^\mu$, met $\mu$ = 0, 1, 2, 3, gegeven is door

$$x = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (t, {\bf x}).$$ (766)

In matrixnotatie vinden we voor ons voorbeeld van een Lorentztransformatie in de $x$-richting

$$\left( \begin{array}{c} t^\prime \\ x^\prime \\ y^\pr... ...rray}{c} t \\ x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) .$$ (767)

Er bestaat een speciale klasse van grootheden die invariant zijn onder Lorentztransformaties. Een dergelijke invariant is een zogenaamde scalaire grootheid en heeft dus dezelfde waarde in elk inertiaalsysteem. Elke twee willekeurige viervectoren $a$ en $b$ kunnen gecombineerd worden tot een invariant $I$ volgens de procedure

$$I = a^0b^0 -a^1b^1 - a^2b^2 - a^3b^3.$$ (768)

Formeel gebruiken we een andere schrijfwijze en definiëren we een nieuw type viervector, $(x_\mu = x_0,-x_1,-x_2,-x_3)$, die we covariant noemen, terwijl de oorspronkelijke vector, ( $x^\mu = x_0,x_1,x_2,x_3)$, contravariant heet. Covariante en contravariante viervectoren zijn aan elkaar gerelateerd via

$$x_\mu = g_{\mu \nu} x^\mu ,   {\rm en}    x^\mu = g^{\mu \nu} x_\mu ,$$ (769)

waarbij we de metrische tensor $g = g_{\mu \nu} = g^{\mu \nu}$ gebruiken die gedefinieerd⁷⁰ is als

$$g = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1... ...& 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right) .$$ (772)

Met behulp van deze definities kunnen we vergelijking 779 nu schrijven als

$$I=a_\mu b^\mu = a^\mu b_\mu = a^\mu g_{\mu \nu} b^\nu = a... ...g^{\mu \nu} b_\nu = (a \cdot b) = a^0b^0 - ({\bf a \cdot b}).$$ (773)

Een eenvoudige invariant kan gevormd worden uit elke viervector $x$ door het inproduct met zichzelf te nemen. Dit heet de norm, en men onderscheidt

$$\begin{array}{rll} x^2 = (x \cdot x ) & > 0 & {\rm tijdach... ...achtig,} \\ x^2 & = 0 & {\rm lichtachtig.} \\ \end{array}$$ (774)