Relativistische kinematica

Voor een deeltje met een totale energie $E$ en impuls ${\bf p}$ kunnen we de impuls-viervector $p=(E,{\bf p})$ definiëren. De relativistische relatie tussen energie en impuls wordt geschreven als

$$E^2 = m^2c^4 + {\bf p}^2 c^2 ,$$ (775)

waarbij $m$ de rustmassa van het deeltje is. In natuurlijke eenheden geldt

$$E^2 = m^2 + {\bf p}^2 .$$ (776)

Bovenstaande uitdrukking is het directe gevolg van de invariant

$$p^2 = p^\mu p_\mu = E^2 -{\bf p}^2 = m^2,$$ (777)

en we noemen $m$ de invariante massa van het deeltje. Verder geldt ook

$$\begin{array}{rl} E & = \gamma m, \\ {\bf p} & = \gamma ... ...f\vec \beta} \vert = \sqrt{\gamma^2 -1}/\gamma . \end{array}$$ (778)

Stel dat de waarden $E$ en ${\bf p}$ refereren aan de eigenschappen van een deeltje zoals gemeten in referentiesysteem $S$. In een ander referentiesysteem $S^\prime$, dat met een constante snelheid $\beta_f$ ten opzichte van $S$ beweegt, vinden we de waarden $E^\prime$ en ${\bf p}^\prime$. Er geldt de relatie

$$\left( \begin{array}{c} E^\prime \\ p_\Vert^\prime ... ...\\ p_\Vert \\ \end{array} \right) ,  p_T^\prime = p_T,$$ (779)

met $p_T = \sqrt{p_y^2 + p_z^2}$ en $p_\Vert$ de componenten van ${\bf p}$ die respectievelijk loodrecht en parallel zijn aan $\vec \beta_f$. Andere viervectoren zoals de ruimte-tijd coördinatoren van events transformeren op precies dezelfde manier. Het inproduct van twee willekeurige viervectoren $p_1 \cdot p_2 = E_1E_2 - {\bf p_1}\cdot{\bf p_2}$ is natuurlijk weer invariant (dezelfde waarde in elk inertiaalsysteem). Voor een set van $N$ deeltjes is de totale energie gegeven door $E = E_1+E_2+\cdot \cdot +E_n$ en de totale impuls ${\bf p} = {\bf p}_1+{\bf p}_2+\cdot \cdot +{\bf p}_N$. De invariante massa $W$ van deze set deeltjes volgt uit $W^2 \equiv E^2 - {\bf p}^2$.

Figuur 59: Definities van variabelen die nodig zijn voor de beschrijving van het transformatiegedrag van hoeken.

Ook de transformaties voor hoeken kunnen op eenvoudige wijze uit bovenstaande relaties afgeleid worden. Fig. 59 toont een deeltje dat zich onder een hoek $\theta$ relatief ten opzichte van de $x$-as beweegt in het referentiesysteem $S$. We vinden dan de hoek $\theta^\prime$ in referentiesysteem $S^\prime$, dat zich met constante snelheid $\beta_f$ ten opzichte van $S$ beweegt, door de verhouding van de transversale en longitudinale componenten van de momentum vector te beschouwen.

$$\tan{\theta^\prime} = {p_T \over p_x^\prime} = {1 \over \ga... ...amma_f} {\sin{\theta} \over \cos{\theta} - \beta_f / \beta}.$$ (780)

Omgekeerd geldt

$$\tan{\theta} = {1 \over \gamma_f} {\sin{\theta^\prime} \over \cos{\theta^\prime} + \beta_f / \beta^\prime}.$$ (781)