Oplossingen van de hoekvergelijkingen

De eerste vergelijking in uitdrukking (437) heeft als oplossing $h(\phi ) = e^{im\phi}$. We dienen nu de eis te stellen dat de oplossing eenduidig is, hetgeen van speciaal belang is voor de hoeken $\phi = 0$ en $\phi = 2\pi$. We krijgen hiermee $e^{im0}=e^{im2\pi}$ en dus $1=\cos{m2\pi}+i\sin{m2\pi}$. Aan deze eis kan enkel voldaan worden in geval $\vert m \vert = 0,1,2,3,..$. Het is duidelijk dat er quantisatie van de richting optreedt. In de klassieke fysica zouden we de hoekafhankelijkheid als sin- en cos-functies opschrijven, omdat de hoekenfuncties reëel dienen te zijn. In de quantummechanica bestaat een dergelijke beperking niet. We zien dat de oplossing voor de $\phi$ afhankelijkheid de Schrödingervergelijking gegeven wordt door $e^{im \phi}$. We noemen $m$ het magnetisch quantumgetal.

De tweede vergelijking kan herschreven worden tot

$${1 \over \chi} {{\rm d} \over {\rm d} r} \left( r^2 {{\rm ... ...eft( \sin{\theta} {{\rm d} g \over {\rm d} \theta} \right) .$$ (432)

In bovenstaande vergelijking zijn we er in geslaagd de variabelen $r$ en $\theta$ te scheiden. We voeren dan ook een scheidingsconstante in en kiezen hiervoor $l(l+1)$. We vinden dan de twee differentiaalvergelijkingen

$$-{1 \over \sin{\theta}} {{\rm d} \over {\rm d}\theta} \lef... ...m d} \theta} \right)+ {m^2 g \over \sin^2{\theta}} = l(l+1) g$$ (433)

en

$${1 \over r^2} {{\rm d} \over {\rm d} r} \left( r^2 {{\rm d... ...2} \left[ E - V(r) \right] \chi = l(l+1) {\chi \over r^2} .$$ (434)

Als we de differentiaalvergelijking voor de $\theta$ afhankelijkheid oplossen¹⁵, dan vinden we dat eindige oplossingen slechts verkregen kunnen worden indien

$$l=\vert m \vert, \vert m \vert +1 , \vert m \vert +2 , \vert m \vert +3 , ...$$ (439)

Deze oplossingen kunnen geschreven worden als

$$g(\theta )= g_{lm} (\theta ) = N_l^m P_l^{\vert m \vert} (\cos {\theta}) .$$ (440)

We herkennen in de functies $P_l^{\vert m \vert} (\cos {\theta})$ de Legendre functies die polynomen zijn in $\cos{\theta}$ en waarvan de vorm afhangt van de waarde van het quantumgetal $l$ en de absolute waarde van het quantumgetal $m$. De geassocieerde Legendre functie worden gedefinieerd door de vergelijking

$$P_l^{\vert m \vert} (\mu ) = {1 \over 2^ll!} (1-\mu^2 )^{\v... ... \vert} \over {\rm d}\mu^{l+ \vert m \vert}} [(\mu^2 -1)^l]$$ (441)

en de normalisatie constanten door

$$N_l^m = (-1)^{(m+\vert m \vert )/2} \left[ {2l+1 \over 4\pi... ...l-\vert m \vert )! \over (l+\vert m \vert )!} \right]^{1/2} .$$ (442)

De complete hoekafhankelijkheid wordt in het geval van een centrale potentiaal, hierbij doet de exacte vorm van deze potentiaal niet terzake, gegeven door de zogenaamde sferisch harmonische functies, $Y_l^m(\theta , \phi )$. De functies $Y_l^m(\theta , \phi )$ kunnen expliciet geschreven worden als

$$Y_l^m(\theta , \phi ) = N_l^m P_l^{\vert m \vert} (\cos{\theta}) e^{im\phi},$$ (443)

De laagste-orde sferisch harmonische functies worden gegeven door

$$\begin{array}{ll} Y_0^0 (\theta , \phi ) & = \sqrt{1 \over... ...= \sqrt{5 \over 16\pi}(3\cos^2{\theta} -1) . \\ \end{array}$$ (444)

De sferisch harmonische functies $Y_l^m(\theta , \phi )$ zijn in de functieruimte van de kwadratisch integreerbare functies gedefinieerd op de eenheidsbol. De functies voldoen aan orthogonaliteit. Er geldt

$$< Y_l^m(\theta ,\phi )\vert Y_{l^\prime}^{m^\prime} (\theta... ...d}\theta {\rm d}\phi = \delta_{mm^\prime}\delta_{ll^\prime} .$$ (445)

We kunnen nu de algemene oplossingen van de Schrödingervergelijking voor een centrale potentiaal dus schrijven als

$$\psi (r,\theta ,\phi ) = \chi (r) g(\theta )h(\phi ) = \chi_l (r) Y_l^m(\theta , \phi ).$$ (446)

In de volgende paragraaf beschouwen we het radiële deel nader.