Scheiden van variabelen

De tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking in drie dimensies luidt als volgt,

$${\bf H} \psi = = - {\hbar^2 \over 2m} \left[ {1 \over r^2... ...r \partial \phi^2} \right] \psi ({\bf r}) = E\phi ({\bf r}).$$ (425)

We gaan nu deze vergelijking in sferische coördinaten oplossen met behulp van de techniek van het scheiden van variabelen. Hiertoe proberen we de oplossing

$$\psi (r,\theta ,\phi ) = \chi (r) g(\theta ) h( \phi ).$$ (426)

We substitueren $\psi (r, \theta ,\phi )$ in de Schrödingervergelijking

$$-{\hbar^2 \over 2m} \left[ {1 \over r^2}{\partial \over \p... ... \partial \theta} \right) \right] + V(r) \chi gh = E \chi gh$$ (427)

en kunnen dit herschrijven als

$$-{\hbar^2 \over 2m} \left[ {gh \over r^2}{{\rm d} \over {\... ...{\rm d} \theta} \right) \right] + V(r) \chi gh = E \chi gh .$$ (428)

We vermenigvuldigen de vergelijking met $-2m r^2 \sin^2{\theta} /\chi gh\hbar^2$ en krijgen

$${1 \over h}{{\rm d}^2 h \over {\rm d} \phi^2} = {-\sin^2{\... ...m \over \hbar^2}r^2 \sin^2{\theta} \left[ E - V(r) \right] .$$ (429)

De linkerkant van bovenstaande vergelijking hangt niet af van $r$ of $\theta$, terwijl de rechterzijde niet afhangt van $\phi$. De uitdrukkingen aan beide kanten van het gelijkteken dienen derhalve gelijk te zijn aan een constante. Hiervoor kiezen we $-m^2$ en verkrijgen de volgende twee differentiaalvergelijkingen.

$${{\rm d}^2 h \over {\rm d} \phi^2} = -m^2 h$$ (430)

en

$$-{1 \over \chi} {{\rm d} \over {\rm d} r} \left( r^2 {{\rm... ...}r^2 \left[ E - V(r) \right] = -{m^2 \over \sin^2{\theta}}.$$ (431)