Wisselwerking en deeltjesuitwisseling

Laten we beginnen met een beschouwing uit de klassieke mechanica. De gravitatiewet geeft de kracht tussen twee (voorlopig als puntvormig aangenomen) massa's als

$$F_{\rm grav} = g_{\rm grav} {m_1 m_2 \over r_{12}^2}.$$ (645)

Uit deze krachtwet en de wetten van Newton kon bijvoorbeeld de beweging van alle planeten in ons zonnestelsel met fantastische nauwkeurigheid worden afgeleid. Schijnbare afwijkingen bleken later te leiden tot de grootste triomfen van het model. Zo ontdekte men in het begin van de negentiende eeuw dat de planeet Uranus niet voldeed aan de gravitatiewet en bovendien de behoudswetten voor energie en impulsmoment schond. De oplossing van deze discrepantie werd in 1846 door U. Le Verrier en John Adams gegeven: de baan van Uranus wordt door de aantrekkingskracht van een onbekende planeet beinvloed! Uit de zeer kleine storingen van de baan van Uranus kon zelfs de plaats van het onbekende object berekend worden. Daadwerkelijk vond op 23 September 1846 de sterrenkundige Johann Galle, zoals men zegt: in minder dan een half uur, binnen 1$^\circ$ van de voorspelde positie, de nieuwe planeet Neptunus. Dat was zonder twijfel één van de grootste successen van de klassieke mechanica. In het begin van de twintigste eeuw resteerde er in principe slechts één enkel niet begrepen effect: de periheliumverschuiving van de planeet die zich het dichtst bij de zon bevindt, namelijk Mercurius. Deze afwijking (slechts $43.11 \pm 0.45$ boogseconde per eeuw) kon enkel door de algemene relativiteitstheorie van Einstein verklaard worden (de berekende afwijking bedraagt $43.03$ boogseconde per eeuw). Een vergelijkbare doorbraak deed zich voor in de atoomfysica, nadat de basiswetten voor de golfmechanica (de Schrödinger en Diracvergelijking, alsook het Pauli principe) ontdekt waren. Samen met de wet van Coulomb (beter: de Maxwellvergelijkingen),

$$F_{\rm em} = g_{\rm em} {q_1 q_2 \over r_{12}^2},$$ (646)

konden de `banen' van de elektronen voor de eenvoudigste atomen (H, He) berekend worden. Weer volgde er een fantastische overeenstemming tussen de berekende energieën en de zeer precies gemeten spectra. De quantum elektrodynamica (QED) werd aan steeds stringentere tests onderworpen, en steeds volgde er dezelfde perfecte overeenstemming tussen experiment en de berekeningen (de relatieve nauwkeurigheid is op dit moment beter dan 10$^{-7}$). Vanzelfsprekend wilde men, aangemoedigd door deze successen, ook in andere gebieden van de natuurkunde een vergelijkbare nauwkeurigheid bereiken. Eerst bij de berekening van kernen en de constituenten ervan (protonen en neutronen) en in een volgende stap, bij de synthese van het nucleon uit zijn basiselementen, de quarks. Deze wens is tot nu toe niet in vervulling gegaan, en in het verloop van dit college zullen we de redenen voor dat falen dienen na te gaan.

In dit hoofdstuk proberen we een overzicht van alle in de natuur voorkomende krachten te geven. We zijn, door onze ervaring met de klassieke mechanica en elektrodynamica, gewend aan het idee dat krachten worden overgebracht van één lichaam op het andere, door een veld. Het begrip veld is slechts een hypothese - het veld is fictief, de kracht daarentegen is aantoonbaar. In de deeltjesfysica is het bijzonder nuttig om een ander concept in te voeren: het idee van deeltjesuitwisseling. Dit behelst dat bepaalde deeltjes ervoor zorgen dat bepaalde krachten worden overgedragen. Naast de zwaartekracht en de elektromagnetische wisselwerking zullen we - misschien verbazingwekkend - slechts twee nieuwe krachten hoeven in te voeren, namelijk de sterke wisselwerking en de zwakke wisselwerking³². Nadat men wist dat een kern is samengesteld uit protonen en neutronen, drong zich de vraag op, waarom een kern, ondanks de geweldige elektrische afstoting tussen de positief geladen protonen, gebonden is. Klaarblijkelijk bestaat er een, voorlopig voor ons nog onbekende, wisselwerking die sterker is dan de elektromagnetische, en die men daarom de sterke wisselwerking of de kernkracht³³ noemt. Uit het $\beta$-verval van bepaalde kernen (bijvoorbeeld $^3$H $\rightarrow$ $^3$He + e$^-$ + $\bar \nu_e$) en later ook uit het verval van deeltjes (bijvoorbeeld $\mu^- \rightarrow$ e $^- + \bar \nu_e + \nu_\mu$) kon het bestaan van nog een vierde kracht, de zogenaamde zwakke wisselwerking afgeleid worden. Deze kracht wordt door geheel andere eigenschappen gekarakteriseerd³⁴. In de onderstaande tabel 7 worden enkele van de belangrijkste eigenschappen van de krachten vermeld.

Tabel 7: Belangrijkste eigenschappen van krachten en de bijbehorende uitgewisselde deeltjes.

Wisselwerking	Sterkte	Dracht	Boson	Massa	Koppelt aan
	[ e ]			[ GeV/c$^2$ ]
El. magn	1/137	$\infty$	$\gamma$	0	Lading
Zwakke	$3 \times 10^{-12}$	$\ll 10^{-15}$ m	W$^{\pm}$, Z$^0$	80, 91	Quarks, Lept.
Gravitatie	$5.9 \times 10^{-39}$	$\infty$	Graviton	0	Massa
Kernkracht	1	$\leq 1.4 \times 10^{-15}$ m	$\pi^\pm$, enz.	0.135, ..	Hadronen
Sterke	1	Confinement	8 Gluonen	0	Quarks

Tabel 7 laat zien dat de natuur is opgebouwd uit fermionen: quarks en leptonen; deeltjes met halftallige spin ($1 \over 2$), die Fermi-Dirac statistiek volgen. De onderlinge wisselwerkingen van deze fermionen worden overgebracht door uitwisseling van andere deeltjes. Deze uitgewisselde deeltjes zijn bosonen, hebben heeltallige spin (0, 1, 2) en gedragen zich daarom volgens de Bose-Einstein statistiek. Merk op dat neutrinos slechts voor één enkele wisselwerking gevoelig zijn, namelijk de zwakke wisselwerking, indien we aannemen dat hun massa nul is. Leptonen zijn niet gevoelig voor de sterke wisselwerking, zodat enkel de quarks alle wisselwerkingen ondergaan. In tabel 7 is de karakteristieke sterkte van de wisselwerking aangegeven met een dimensieloos getal. We zullen deze procedure toelichten aan de hand van de elektrostatische potentiaal. De potentiële energie van twee elementaire ladingen, die zich op een afstand $r$ van elkaar bevinden, bedraagt

$$U_{\rm em}={1 \over 4 \pi \epsilon_0}{q_1q_2 \over r} \righ... ...}) \hbar c {1 \over r} =\alpha_{\rm em} \hbar c {1 \over r}.$$ (648)

We vinden dan

$$\alpha_{\rm em} = {e^2 \over 4 \pi \epsilon_0 \hbar c} = {1 \over 137.036},$$ (649)

waarbij $\hbar$ de constante van Planck is (gedeeld door $2\pi$) en $c$ de lichtsnelheid. Merk op dat $\hbar c = 197.328$ MeV$\cdot$fm.

Analoog vinden we voor de gravitatie van twee protonen de energie

$$U_{\rm grav}= -g_{\rm grav}{m_1m_2 \over r} \rightarrow -g... ...hbar c {1 \over r} =- \alpha_{\rm grav} \hbar c {1 \over r},$$ (650)

waarbij

$$\alpha_{\rm grav} = g_{\rm grav} {m_p^2 \over \hbar c} = 5.9 \times 10^{-39}.$$ (651)

Voor zowel de zwakke wisselwerking, $\alpha_F = 3 \times 10^{-12}$, als de sterke wisselwerking, $\alpha_S = 0.07 - 14$, zijn in de literatuur ook andere normeringen gebruikelijk.

Men kan de elektromagnetische krachten, die tussen twee ladingen werken, beschrijven in QED met behulp van de uitwisseling van een of meerdere fotonen. Zo wordt bijvoorbeeld de wisselwerking tussen een elektron en een positron door de Feynman diagrammen gegeven in figuur 46 beschreven. In dit college nemen we aan dat in de Feynman diagrammen de tijdas horizontaal is (de toekomst is rechts). In de literatuur vindt men ook andere conventies.

Figuur 46: Feynmandiagrammen welke de elektron-positron verstrooiing beschrijven.

De fotonen geschetst in figuur 46 zijn virtuele deeltjes (en zijn bijvoorbeeld niet massaloos). De uitwisseling van een massaloos foton komt overeen met de Coulombpotentiaal met een oneindige dracht. Grofweg zouden we ons de deeltjesuitwisseling als volgt kunnen voorstellen: als twee ladingen $q_1 = Q_1 e$ en $q_2 = Q_2 e$ zich op een afstand $r$ van elkaar bevinden, dan kunnen er volgens de onzekerheidsrelatie fotonen met een impulsoverdracht

$$\Delta p \cdot r \approx \hbar$$ (652)

uitgewisseld worden. Elk foton heeft een tijd $\Delta t \approx r/c$ nodig om de afstand tot de andere lading te overbruggen. De gemiddelde kracht, $\bar f$, is volgens Newton te berekenen uit

$$\bar f = {\Delta p \over \Delta t} = {\hbar c \over r^2}.$$ (653)

Het aantal uitgewisselde fotonen is evenredig met het product van de ladingen en de koppelingsconstante $\alpha_{\rm em}$. Hieruit volgt dan de bekende wet van Coulomb

$$F_{\rm Coulomb} = \alpha \hbar c {Q_1Q_2 \over r^2}.$$ (654)

Wellicht zal dit microscopisch beeld aanvankelijk niet als erg bevredigend ervaren worden. Het is bijvoorbeeld moeilijk te begrijpen hoe een, in dit geval, aantrekkende Coulombkracht tot stand komt. Echter, wat bepalend is, is het succes van deze theorie, die deeltjesuitwisseling als fundament heeft. QED is op dit moment een van de beste theorieën. Hiermee is het mogelijk processen, die onder invloed van de elektromagnetische wisselwerking verlopen, te berekenen met een ongekende nauwkeurigheid (10$^{-7}$ en beter!).

Door het uitvoeren van nucleon-nucleon verstrooiingsexperimenten heeft men vastgesteld dat de kernkracht een eindige dracht heeft ( $\ensuremath{\lambda \hspace*{-2.3mm}^-}\approx 1.4$ fm). In de eenvoudigste benadering (en met verwaarlozing van alle spineffecten) kan de kernkracht gevonden worden uit

$$U_{\rm kern} \approx - \alpha_S \hbar c {1 \over r} e^{-{r \over \ensuremath{\lambda \hspace*{-1.8mm}^-}}}.$$ (655)

De Japanse fysicus Hideki Yukawa heeft reeds in 1935 de suggestie gedaan, dat deze kracht overgebracht kan worden door uitwisseling van deeltjes met een rustenergie van

$$mc^2={\hbar c \over \ensuremath{\lambda \hspace*{-2.3mm}^-}} \approx 140 {\rm MeV}.$$ (656)

Daadwerkelijk werden deze deeltjes dan ook³⁵ in 1947 door Cecil Powell, hij werkte in laboratoria in het hoogggebergte (o.a. in de Andes op 5000 m hoogte), via sporen in fotografische emulsies gebruikt in kosmische stralingsexperimenten aangetoond. Het gaat hier om de drie pionen, $\pi^\pm$ en $\pi^0$. De neutron-proton wisselwerking kan dan (in laagste orde!) door de diagrammen in figuur 47 beschreven worden.

Figuur 47: Feynmandiagrammen welke de proton-neutron verstrooiing beschrijven in laagste orde.

Een exacte afleiding van het verband tussen de vorm van de Yukawa potentiaal en de massa van het uitgewisselde deeltje kan pas later gegeven worden. We beperken ons hier tot een heuristisch argument: Indien een uitwisselingsdeeltje met een van nul verschillende massa door een nucleon geëmitteerd wordt, bijvoorbeeld $m_\pi$, dan gaat dit altijd gepaard met het schenden van de wet van behoud van energie. Deze energie, $m_\pi c^2$, mag door het nucleon `geleend' worden, mits het wordt `terugbetaald' binnen een tijd $\Delta t$³⁶. De onzekerheidsrelatie `laat zulks toe' voor een beperkte tijdsduur $\Delta t$, waarbij

$$\Delta E \Delta t = m_\pi c^2 \cdot \Delta t \approx \hbar .$$ (657)

In deze tijd kan het deeltje hooguit een afstand

$$\ensuremath{\lambda \hspace*{-2.3mm}^-}= c \cdot \Delta t \approx {\hbar c \over m_\pi c^2}$$ (658)

afleggen, en die kan worden geïnterpreteerd als de dracht van de desbetreffende kracht.

We zijn er nu aan gewend dat de krachtwetten voor gravitatie³⁷ en de elektromagnetische wisselwerking er zeer eenvoudig uitzien. Dit is echter geenszins het geval voor de kernkracht. Integendeel, deze krachtwet is zeer gecompliceerd. We zullen er enkele aspecten uitlichten.

1. De radiële afhankelijkheid is ingewikkeld en kan in de meest eenvoudige benadering beschreven worden door een superpositie van verschillende Yukawa potentialen. De reden van de ingewikkelde radiële afhankelijkheid is het feit dat er verschillende mesonen bestaan, die elk een bijdrage tot de nucleon-nucleon wisselwerking geven.
2. Naast de diagrammen gegeven in figuur 47 zijn er oneindig veel andere diagrammen, die in een exacte berekening allemaal meegenomen dienen te worden. In QED convergeert de bijbehorende reeks, omdat de koppelingsconstante ( $\alpha_{\rm em} \approx 1/137$) klein is. Dat is echter niet het geval in de kernfysica ( $\alpha_S \approx 1$)
3. De interactiepotentiaal is niet centraal, maar bevat diverse componenten die van de spin afhangen. Van belang zijn de spin-spin koppeling, de spin-baan koppeling en de tensor interactie.
4. De interactie is bijzonder slecht bekend voor kleine afstanden tussen de nucleonen ($r < 1$ fm). Vermoedelijk dienen ook niet-lokale componenten in rekening gebracht te worden³⁸.
5. Er zijn aanwijzingen voor het bestaan van meer-deeltjes krachten. Dit betekent dat de wisselwerking tussen twee nucleonen verandert, als er nog een derde (of meer) hadron in het interactiegebied gebracht wordt. De grootte van deze meer-deeltjes kracht is nog onbekend en wordt daarom op dit moment in veel experimenten met drie-nucleon systemen onderzocht.

We verbazen ons tegenwoordig niet meer over deze gecompliceerde vorm van de nucleon-nucleon interactie. We weten immers dat de nucleonen en mesonen zelf een inwendige structuur hebben en uit meerdere deeltjes (de quarks, antiquarks en gluonen) zijn samengesteld.

De kernkracht is terug te voeren tot de onderliggende sterke wisselwerking, die de quarks (en antiquarks) door middel van gluonen samenbindt. De potentiaal tussen een quark en een antiquark, die samen een meson vormen, bevat twee termen,

$$V(r) \approx -{4 \over 3}{\alpha_S \over r} + \lambda r.$$ (659)

In een zeer vereenvoudigde voorstelling komt de eerste term overeen met de verwachte bijdrage van de uitgewisselde massaloze gluonen, terwijl de tweede term (de zogenaamde confinement term) ermee te maken heeft dat de quarks (vanwege hun kleur) zich niet uit het hadron kunnen vrijmaken. Als het ware zijn ze in een kleurloze wereld veroordeeld tot eeuwige opsluiting.

Veel fysici hebben, ondanks tientallen jaren van frustratie, de hoop niet opgegeven, dat alle vier de wisselwerkingen zich uiteindelijk zullen laten verenigen in één enkele theorie. Als dat lukt leidt dat tot unificatie van alle interacties, waarbij alle krachten manifestaties zijn van verschillende aspecten van slechts één enkele interactie. Tot nu toe is dat wel gelukt met de zwakke en de elektromagnetische wisselwerking. Het zogenaamde standaard model van de elektrozwakke interactie van Glashow, Salam en Weinberg (1961) laat bijvoorbeeld toe het $\beta$-verval van deeltjes en kernen te begrijpen en met goede nauwkeurigheid te berekenen (zie figuur 48).

Figuur 48: Feynmandiagrammen voor het $\beta$-verval van het muon en van het neutron. De zwakke wisselwerking wordt overgebracht door de geladen W$^+$ en W$^-$ vector bosonen.

Hetzelfde model beschrijft ook de zogenaamde neutrale stromen en de creatie van de intermediare vector bosonen van de zwakke wisselwerking bij elektron-positron botsers. De laagste-orde diagrammen voor dit proces worden gegeven in figuur 49.

Figuur 49: Feynmandiagrammen die de koppelingen van het $Z^0$ aan leptonen beschrijven

Tenslotte, merken we nog op dat de gravitatiekracht dermate zwak is ( $\alpha_{\rm grav} \approx 6 \times 10^{-39}$), dat ze in de kern- en deeltjesfysica tot nu toe geen rol schijnt te spelen. We zullen haar dan ook in het vervolg verwaarlozen. Het uitwisselingsdeeltje is het nog niet experimenteel aangetoonde graviton, een deeltje met spin 2.