Spin en statistiek

Tenslotte zullen we in dit hoofdstuk ingaan op een wezenlijk verschil tussen fermionen en bosonen³⁹. Dit verschil heeft te maken met de spin van het deeltje. Spin is een zuiver quantummechanische eigenschap, die een maat is voor het intrinsieke impulsmoment. Er is geen analogie in de klassieke mechanica, alhoewel we ons dan vaak het deeltje voorstellen als een snel rond zijn as draaiende tol. De grootte van de spin (het is een vectorgrootheid) wordt uitgedrukt in eenheden van $\hbar$. De waarde van de spin is, net als het baanimpulsmoment, gequantiseerd. Deeltjes met halftallige spin ($1 \over 2$, $3 \over 2$, enz.) volgen Fermi-Dirac statistiek, terwijl deeltjes met heeltallige spin (0, 1, enz.) voldoen aan Bose-Einstein statistiek. Dit heeft tot gevolg dat de fermionen slechts in paren gecreëerd en geannihileerd kunnen worden (bijvoorbeeld $\gamma \rightarrow e^-+e^+$). Bosonen daarentegen kunnen in willekeurig aantal geproduceerd en geannihileerd worden (bijvoorbeeld $p+p \rightarrow p+p+n\pi ,n =1, 2, ..$), indien de andere behoudswetten dat toestaan. Het spin-statistiek theorema ( $\vert \psi \vert^2$ mag niet veranderen) bepaalt nu dat voor de golffunctie $\psi$, van twee identieke deeltjes, moet gelden dat

$$\begin{array}{rcl} {\rm bosonen:} &  \psi (1,2) \rightarr... ...htarrow - \psi (2,1)& {\rm antisymmetrisch,}\\ \end{array}$$ (660)

in het geval dat beide deeltjes verwisseld worden. Indien twee fermionen precies dezelfde quantumgetallen hebben, en zich dus in dezelfde toestand bevinden, dan moet $\psi$ gelijk zijn aan nul (het zogenaamde principe van Pauli). Daarentegen bezetten meerdere bosonen `bij voorkeur' dezelfde toestand (zoals bijvoorbeeld van toepassing is in een laser). Schrijven we de golffunctie van twee deeltjes als een product van een plaatsgolffunctie en een factor die de spinoriëntatie bepaalt,

$$\psi = \psi_p({\rm plaats}) \psi_s ({\rm spin}),$$ (661)

dan moet de totale golffunctie symmetrisch of antisymmetrisch zijn. Indien de plaatsgolffunctie als volgt geschreven kan worden,

$$\psi_p({\rm plaats})=\psi (r) Y_l^m(\theta , \phi),$$ (662)

waarbij $r$ de afstand tussen beide deeltjes is en $l$ hun relatief baanimpulsmoment, dan volgt bij verwisseling van de deeltjes in het zwaartepunt,

$$\theta \rightarrow \pi - \theta,  {\rm en}   \phi \rightarrow \phi + \pi,$$ (663)

en hiermee

$$\psi_p({\rm plaats}) \rightarrow (-1)^l\psi_p({\rm plaats}).$$ (664)

De plaatsgolffunctie is dus symmetrisch voor even $l$ en antisymmetrisch voor oneven $l$. Bij identieke deeltjes moet dan de spingolffunctie, naar gelang de deeltjessoort, symmetrisch of antisymmetrisch gekozen worden. We krijgen bijvoorbeeld voor $J_1=J_2={1 \over 2}$ een symmetrische golffunctie voor de triplettoestand ( $J=1, J_z=0 , \pm 1$) en een antisymmetrische golffunctie voor de singlettoestand ($J=0, J_z=0$).

$$\begin{array}{ccl} \psi_s({\rm spin})  =   & \left\{ \b... ...row \uparrow >\} & {\rm    antisymmetrisch} \\ \end{array}$$ (665)

Om het belang van symmetrieën te demonstreren, beschouwen we het verval van een neutraal $\rho$-meson in twee neutrale pionen, dus $\rho \rightarrow 2\pi^0$. De $\rho$ is een voorbeeld van een vector meson, en zoals we later zullen zien bezitten deze mesonen een spin $J = 1$. De pionen zijn ongeladen en dragen geen spin, en hun spingolffunctie, $\psi_s$, is dan ook symmetrisch. Omdat de pionen identieke bosonen zijn, dient hun totale golffunctie symmetrisch te zijn, en er dient nu te gelden dat de plaatsgolffunctie, $\psi_p$, symmetrisch is. Dit betekent dat de gecreëerde pionen een even totaal-impulsmoment dienen te hebben. Omdat we een $\rho$ meson met spin $J = 1$ in de begintoestand hebben, is het verval dus verboden door de wet van behoud van impulsmoment en Bose-symmetrie.