Einstein, Podolsky en Rosen paradox

In 1935 publiceerden Einstein, Podolsky en Rosen (EPR) een artikel⁶⁷ met de titel `Can Quantum-Mechanical Description of Reality Be Considered Complete'. We zullen de implicaties hiervan bespreken. EPR stellen dat teneinde het succes van een theorie te kunnen beoordelen men twee vragen dient te beantwoorden: (1) `Is de theorie correct?' en (2) `Is de beschrijving die door de theorie gegeven wordt compleet?'. De eerste vraag is eenvoudig te beantwoorden door te bestuderen of de voorspellingen van de theorie in overeenstemming zijn met de resultaten van metingen. Quantummechanica is zonder twijfel een correcte theorie en EPR beschouwden de tweede vraag in relatie tot de quantummechanica. Allereerst werd een nadere definitie gegeven van wat bedoeld is met compleet. Volgens EPR is een complete theorie er een waarbij elk element van de fysische realiteit een tegenhanger heeft in de fysische theorie. Dit wordt de conditie van compleetheid genoemd. Met betrekking tot de elementen van de fysische realiteit worden door EPR de volgende twee veronderstellingen gemaakt:

• Als men de waarde van een grootheid van een systeem met zekerheid kan voorspellen zonder het systeem te verstoren, dan komt die grootheid overeen met een element in de werkelijkheid.
• Als twee systemen dynamisch geisoleerd zijn, dan kan een meting van een grootheid van één systeem niet van invloed zijn op die van het andere systeem. Dit is de conditie van lokaliteit.

Vervolgens geven EPR een eenvoudige verhandeling van de quantummechanica, hetgeen er op neer komt dat wanneer de impuls van een deeltje bekend is, haar coordinaat geen fysische realiteit heeft. Elke poging om de coordinaat te meten zal de toestand van het systeem zodanig verstoren dat elke kennis die we hadden van de impuls verloren gaat. EPR concluderen dat of (1) de quantummechanische beschrijving van de werkelijkheid gegeven door de golffunctie niet compleet is of dat (2) wanneer de operatoren die corresponderen met twee fysische grootheden niet commuteren, deze grootheden niet simultaan deel van de werkelijkheid kunnen uitmaken. In de quantummechanica wordt aangenomen dat de golffunctie alle informatie bevat voor een complete beschrijving van de fysische werkelijkheid. EPR laten zien dat deze aanname in conflict is met bovengenoemde definitie van fysische werkelijkheid. In het volgende bespreken we de argumentatie.

Twee systemen, I en II, worden bijeengebracht voor een tijd $0 < t < T$, waarna er geen interactie meer is tussen beide systemen. Stel dat $x_1$ en $x_2$ de coordinaten en $p_1$ en $p_2$ de impulsen zijn van systeem I en II, respectievelijk. Het is dan mogelijk om zowel $X_{\rm verschil} \equiv x_1 - x_2$ als $P_{\rm totaal} \equiv p_1 + p_2$ tegelijkertijd exact te kennen, want

$$\begin{array}{ll} \left [ X_{\rm verschil}, P_{\rm totaal}... ...right] \\ & = i\hbar - i \hbar \\ & = 0. \\ \end{array}$$ (743)

Oplossen van de Schrödingervergelijking geeft de golffunctie $\Psi$ voor het complete systeem voor $t > T$. We kennen echter niet de afzonderlijke toestanden van systemen I en II na de interactie. Daarvoor zijn metingen vereist. Stel dat $a_1$, $a_2$, ... de eigenwaarden van een fysische grootheid $A$ zijn met betrekking tot systeem I en $u_1(x_1)$, $u_2(x_2)$, ... de corresponderende eigenfuncties. Volgens het expansietheorema kunnen we dan schrijven

$$\Psi (x_1, x_2) = \sum_{n=1}^{\infty} \psi_n(x_2)u_n(x_1),$$ (744)

waarbij $\psi_n(x_2)$ beschouwd kunnen worden als de coëfficiënten van de expansie van $\Psi$ in een orthonormale set eigenfuncties $u_n(x_1)$ van de Hermitische operator $A$. Stel dat na een meting het eerste systeem in toestand $u_k(x_1)$ is, dan is het tweede systeem in toestand $\psi_k(x_2)$. Dit is het proces van de zogenaamde reductie van de golffunctie. Het golfpakket gegeven door de oneindige reeks in vergelijking (755) is gereduceerd tot een enkele term

$$\psi_k(x_2)u_k(x_1) .$$ (745)

We hadden ook een andere grootheid, $B$, met eigenwaarden $b_1$, $b_2$, ... en eigenfuncties $v_1(x_1)$, $v_2(x_2)$, ... kunnen kiezen en hadden dan als expansie

$$\Psi (x_1, x_2) = \sum_{s=1}^{\infty} \phi_s(x_2)v_s(x_1),$$ (746)

verkregen, waarde de $\phi$'s de nieuwe coëfficiënten zijn. Indien we voor $B$ de waarde $b_r$ hadden gemeten, dan zou systeem I zich in toestand $v_r(x_1)$ en systeem II zich in toestand $\phi_r(x_2)$ bevinden.

EPR concluderen dat als resultaat van twee verschillende metingen aan systeem I, systeem II zich zal bevinden in toestanden beschreven door verschillende golffuncties. Omdat de systemen niet meer wisselwerken, kan er in systeem II niet iets gebeurd zijn als consequentie van de gebeurtenissen in systeem I. Het is dus mogelijk twee verschillende golffuncties ($\psi_k$ en $\phi_r$) toe te kennen aan dezelfde werkelijkheid (systeem II na interactie met systeem I). Vervolgens beschouwen EPR het geval dat $\psi_k$ en $\phi_r$ eigenfuncties zijn van twee niet-commuterende operatoren ${\bf P}$ en ${\bf Q}$. Door aan systeem I een meting van $P$ of $Q$ uit te voeren, zijn we in een positie om met absolute zekerheid, en zonder systeem II op enigerlei wijze te verstoren, de waarde van de grootheid $P$ of de waarde van $Q$ te voorspellen. In overeenstemming met de gegeven definitie van werkelijkheid moeten we in het eerste geval $P$ als element van de werkelijkheid beschouwen, terwijl in het tweede geval $Q$ een element van de werkelijkheid is. We hebben echter gezien dat $\psi_k$ en $\phi_r$ behoren tot dezelfde werkelijkheid. Deze laatste conclusie is in strijd met de quantummechanica en EPR concluderen dat quantummechanica niet compleet is.

Samenvattend kunnen we stellen dat uit bijvoorbeeld de meting van de impuls van deeltje 1 (systeem I) we vanwege onze kennis van $P_{\rm totaal}$ met zekerheid kunnen voorspellen wat het resultaat zal zijn van een meting van de impuls van deeltje 2 (systeem II). Als we echter de impuls van deeltje 2 met zekerheid kunnen voorspellen zonder dat we met dit deeltje wisselwerken, dan moet deeltje 2 deze impuls al hebben vóór de meting, en zelfs al voor de meting aan deeltje 1 (er is immers geen verstoring van deeltje 2). Quantummechanisch wordt de toestand beschreven door $\Psi$, maar hieruit kunnen we de waarde van de impuls van deeltje 2 niet bepalen. EPR komen tot de conclusie dat de quantummechanica onvolledig is.