Operatoren voor spin-${1 \over 2}$

In de beschrijving van spin-${1 \over 2}$ deeltjes hebben we te maken met de spinoperatoren ${\bf s_x}, {\bf s_y}$ en ${\bf s_z}$, welke gezien kunnen worden als componenten van de spinoperator ${\bf s} = ({\bf s_x}, {\bf s_y},{\bf s_z})$. Verder is er nog de operator ${\bf s^2}$. Spin-${1 \over 2}$ impulsmoment kan eenvoudig worden behandeld door de spinoperatoren voor te stellen als $2 \times 2$ matrices en de spintoestanden door twee-component kolomvectoren. We schrijven $\vert \alpha >$ en $\vert \beta >$ als

$$\alpha = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array... ...ft( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) ,$$ (576)

en de spinimpulsmoment operatoren door

$${\bf s} = {1 \over 2} \hbar {\bf\sigma},$$ (577)

waarbij ${\bf\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$ de Pauli spinmatrices zijn, gedefinieerd door

$$\sigma_x = \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 ... ...in{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right) .$$ (578)

Met behulp van bovenstaande relaties kunnen we direct een aantal resultaten afleiden. Er geldt

$$s_z \alpha = {\hbar \over 2} \left( \begin{array}{rr} 1 &... ... \\ 0 \\ \end{array} \right) = {\hbar \over 2} \alpha ,$$ (579)

hetgeen de matrixvorm is van de eerste uitdrukking in vergelijking (582). De spinmatrices voldoen aan de commutatieregels voor impulsmoment, $\left[ s_x , s_y \right] = i \hbar s_z, {\rm enz.}$, waarbij men gebruik dient te maken van de regels voor matrixvermenigvuldiging¹⁸.