Matrix representatie van spin ${1 \over 2}$ deeltjes

De natuur realiseert de half-integer waarden voor impulsmoment in de vorm van het intrinsieke impulsmoment in het rustsysteem van deeltjes, zoals elektronen, protonen, neutronen en quarks. Alle materie waaruit ons universum opgebouwd is, bestaat uit deze deeltjes. Omdat de spin van deze deeltjes vastligt, hebben we hier feitenlijk te maken met wiskundig gezien de meest eenvoudige niet-triviale quantum systemen. Conventioneel gebruikt met symbool ${\bf s}$ voor de operator van dit zogenaamde spin impulsmoment, terwijl $s$ en $m_s$ de geassocieerde spin en magnetische quantumgetallen zijn. Er zijn slechts twee mogelijke toestanden, $m_s = \pm {1 \over 2}$ en we werken in een twee-dimensionale vector ruimte. De operatoren zijn eenvoudige $2 \times 2$ matrices en de toestanden zijn vectoren met maar twee componenten.

Uit vergelijking (577) volgt dat ${\bf s^2}$ de waarde $\hbar^2 s(s+1) = {3 \over 4} \hbar^2$ heeft. Voor de lengte van ${\bf s}$ geldt dus $\Vert {\bf s} \Vert = {1 \over 2} \sqrt{3} \hbar$. De projectie $s_z$ heeft slechts twee eigenwaarden $\hbar m_s$ met $m_s = \pm {1 \over 2}$, die corresponderen met de spin parallel (spin up: $\uparrow$) en spin antiparallel (spin down: $\downarrow$) aan de $z$-as. De corresponderende eigentoestanden van $s_z$ kunnen geschreven worden als

$$\vert \alpha > = \vert m_s = + {1 \over 2} >       \vert \beta > = \vert m_s = -{1 \over 2} >$$ (573)

en dus

$$s_z \vert \alpha > = { \hbar \over 2} \vert \alpha >       s_z \vert \beta > = - { \hbar \over 2} \vert \beta > .$$ (574)

Omdat de toestanden $\vert \alpha >$ en $\vert \beta >$ behoren bij verschillende eigenwaarden van $s_z$, zijn ze orthogonaal. We nemen verder aan dat ze genormeerd zijn. Er geldt

$$< \alpha \vert \alpha > = 1     < \beta \vert \beta > = 1     < \alpha \vert \beta > = 0 .$$ (575)