Verwachtingswaarden

We gaan het matrixformalisme voor spin-${1 \over 2}$ deeltjes nu toepassen. Allereerst berekenen we de verwachtingswaarde van $s_x$ voor de spintoestand $\vert \chi >$. We vinden

$$\begin{array}{ll} < \chi \vert s_x \vert \chi > & = {1 \ov... ...{1 \over 2} \hbar (a_1 a_2^* + a_2^* a_1 ). \\ \end{array}$$ (584)

Evenzo berekenen we $< \chi \vert s_z \vert \chi >$. Er geldt

$$\vert \chi > = \vert \alpha > < \alpha \vert \chi > + \vert \beta > < \beta \vert \chi >$$ (585)

en dus

$$s_z \vert \chi > = s_z \vert \alpha > < \alpha \vert \chi... ...chi > + {\hbar \over 2} \vert \beta > < \beta \vert \chi >,$$ (586)

waarmee we vinden

$$< \chi \vert s_z \vert \chi > = {\hbar \over 2} \left[ \v... ...ver 2} \left[ \vert a_1 \vert^2 - \vert a_2 \vert^2 \right] .$$ (587)

We zien dat respectievelijk de eerste en tweede term de waarschijnlijkheid geven dat het deeltje in de spintoestand $\vert \chi >$ spin up of spin down heeft.

Voorbeeld: Stel voor dat een spin-${1 \over 2}$ deeltje zich in de toestand

$$\chi = {1 \over \sqrt{6}} \left( \begin{array}{c} 1 + i \\ 2 \\ \end{array} \right)$$ (588)

bevindt. Als we ${\bf s}_z$ meten, dan is de waarschijnlijkheid om $+\hbar /2$ te vinden gelijk aan $\vert (1+i)/\sqrt{6} \vert^2 = 1/3$ en de waarschijnlijkheid om $-\hbar /2$ te vinden $\vert 2/\sqrt{6} \vert^2 = 2/3$. Als we ${\bf s_x}$ meten, dan is de waarschijnlijkheid om $+\hbar /2$ te meten $(1/2)\vert (3+i)/\sqrt{6} \vert^2 = 5/6$, terwijl de waarschijnlijkheid om $-\hbar /2$ te vinden gelijk is aan $(1/2)\vert (-1+i) / \sqrt{6} \vert^2 = 1/6$. Klaarblijkelijk is de verwachtingswaarde van ${\bf s_x}$ gelijk aan

$${5 \over 6} \left( +{\hbar \over 2} \right) + {1 \over 6} \left( -{\hbar \over 2} \right) = {\hbar \over 3},$$ (589)

hetgeen we ook meer rechttoe reachtaan hadden kunnen vinden,

$$< s_x > = \chi^\dagger s_x \chi = \left( {1-i \over \sqrt... ...\\ 2/ \sqrt{6} \\ \end{array} \right) = {\hbar \over 3}.$$ (590)