Inleiding

Het onderzoek naar symmetrieën en de daarmee verbonden behoudswetten is in de deeltjesfysica buitengewoon nuttig gebleken. Uit de klassieke fysica weten we bijvoorbeeld, dat de eis, dat wetten invariant dienen te zijn onder een translatie in de tijd, leidt tot behoud van energie. Verder leidt invariantie ten opzichte van ruimtelijke rotaties tot behoud van impulsmoment. Terwijl de wetten van behoud van energie, impuls, en impulsmoment altijd geldig zijn, weten we nu dat andere symmetrieën in bepaalde wisselwerkingen geschonden worden. Het was bijvoorbeeld een ongelofelijke verrassing voor fysici, toen bleek dat de spiegelsymmetrie in de zwakke wisselwerking (en enkel in deze!) geschonden is, zelfs maximaal. Ook begrijpen we tegenwoordig nog niet, of slechts ten dele, waarom dit zo is, of waarom bepaalde symmetrieën ( $\mathcal{CP, T}$) slechts `een beetje' geschonden worden.

Hier willen we allereerst de theoretische quantummechanische basis samenvatten, omdat we dat voor de bespreking van deze fenomenen nodig zullen hebben. Een systeem wordt beschreven door een golffunctie, $\psi$. Een fysische observabele wordt voorgesteld door een quantummechanische operator, ${\bf O}$, waarvan de verwachtingswaarden gegeven worden door de eigenwaarden van deze operator. De eigenwaarden komen overeen met de resultaten van metingen, en de verwachtingswaarde van ${\bf O}$ in de toestand $\psi_a$ is gedefinieerd als⁴⁰

$$<O> = \int \psi_a^* {\bf O} \psi_a dV.$$ (668)

Omdat de verwachtingswaarden experimenteel bepaald kunnen worden, dienen ze reëel te zijn, en moet ${\bf O}$ dus hermitisch zijn. Als ${\bf O}$ een operator is, dan wordt de hermitisch toegevoegde operator ${\bf O^\dagger}$ gedefineerd als

$$\int ({\bf O} \psi )^* \phi dV = \int \psi^* {\bf O}^\dagger \phi dV ,$$ (669)

en de operator ${\bf O}$ is hermitisch als geldt ${\bf O}^\dagger = {\bf O}$.

We nemen aan dat de tijdsafhankelijkheid van de golffunctie, $\psi$, gegeven is door de Schrödingervergelijking,

$$i\hbar {\partial \psi \over \partial t} = {\bf H} \psi .$$ (670)

Indien de Hamiltoniaan H reëel is, dan geldt ook

$$-i\hbar {\partial \psi^* \over \partial t} = ({\bf H}\psi)^*=\psi^*{\bf H}.$$ (671)

Voor de verandering in de tijd van een observabele, $O$, krijgen we

$$\begin{array}{rl} {\partial \over \partial t}< O > & = {\... ...} \int \psi^* ({\bf HO} - {\bf OH}) \psi dV .\\ \end{array}$$ (672)

We zien dus dat $<O>$ niet verandert, dus een bewegingsconstante is, indien de commutator $[{\bf H, O}]$ gelijk is aan nul,

$$[ {\bf H,O} ]\equiv {\bf HO - OH } = 0.$$ (673)

Er kan dan een golffunctie gevonden worden, die gelijktijdig een eigenfunctie is van ${\bf O}$ en van ${\bf H}$,

$${\bf H}\psi = E\psi     {\rm en}     {\bf O}\psi = o\psi ,$$ (674)

waarbij $o$ de eigenwaarde is van ${\bf O}$ in toestand $\psi$.

Om te illustreren op welke manier behoudswetten gevonden kunnen worden, voeren we een unitaire⁴¹, tijdsonafhankelijke symmetrietransformatie ${\bf U}$ in,

$$\psi^\prime (\vec r , t)={\bf U}\psi (\vec r ,t).$$ (675)

Omdat $\psi^\prime$ dient te voldoen aan dezelfde Schrödingervergelijking, krijgen we

$${\bf H} = {\bf U}^{-1}{\bf HU} = {\bf U}^\dagger {\bf HU},$$ (676)

en dus

$$[ {\bf H}, {\bf U} ]= 0.$$ (677)

We zien dus dat de operator voor de symmetrietransformatie eveneens commuteert met de Hamiltoniaan. Indien ${\bf U}$ ook nog hermitisch is, ${\bf U}^\dagger = {\bf U}$, dan is er een observabele geassocieerd met ${\bf U}$. Als dat niet het geval is, dan kan er, zoals we in de volgende voorbeelden nog zullen laten zien, een met ${\bf U}$ geassocieerde variabele gedefiniëerd worden. We dienen hierbij onderscheid te maken tussen het geval dat ${\bf U}$ een continue of een niet continue transformatie vertegenwoordigt. In het eerste geval krijgen we in het algemeen een additief behouden grootheid (zoals impuls, impulsmoment, energie), terwijl we in het tweede geval een multiplicatief quantumgetal (bijvoorbeeld pariteit) zullen vinden.