Inleiding

Er zijn vele manieren om quantummechanica te leren: historisch, empirisch, Hamiltonisch, axiomatisch enz. We kiezen hier de axiomatische wijze omdat die het snelst tot een niveau leidt waarbij we de belangrijkste elementaire problemen te lijf kunnen gaan. De grootste hindernis is het overwinnen van de abstracte en ongewone taal. We zullen hier beginnen met de benodigde wiskundige achtergrond. David Hilbert heeft ingezien dat functies zich formeel net zo gedragen als vectoren. Dit kan men logisch aannemelijk maken door te bewijzen dat functies voldoen aan dezelfde axiomas als vectoren, waaruit dan alle eigenschappen van de vectorruimte volgen. De functies bouwen ook een dergelijke ruimte op, die de Hilbertruimte genoemd wordt.

• Een $n$-dimensionale vector ${\bf a}$ wordt gedefinieerd door aan elke heeltallige waarde van de index $i$ ($i=1,...,n$) een getal toe te voegen, dat de component $a_i$ van de vector voorstelt. Een functie ${\bf f}$ wordt gedefinieerd door aan elke waarde van het argument $x$ (meestal met $-\infty <x< \infty$) een getal toe te voegen, dat de functiewaarde $f(x)$ voorstelt.
• Twee vectoren ${\bf a}$ en ${\bf b}$ kunnen worden opgeteld tot een nieuwe vector ${\bf c}$, indien men voor elke index $i$ de componenten $a_i$ en $b_i$ optelt en de som gelijk stelt aan $c_i$. Twee functies ${\bf f}$ en ${\bf g}$ kunnen worden opgeteld tot een nieuwe functie ${\bf h}$, indien men voor elk argument $x$ de functiewaarde $f(x)$ en $g(x)$ optelt en de som gelijk stelt aan $h(x)$.
• Het inproduct $< a \vert b >$ van twee vectoren ${\bf a}$ en ${\bf b}$ wordt verkregen door voor elke index de twee componenten $a_i^*$ en $b_i$ te vermenigvuldigen. De som van al deze producten wordt het inproduct genoemd,
  

  $$< a \vert b > = ({\bf a},{\bf b}) = {\bf a}^\dagger {\bf b} = \sum_{i=1}^n a_i^* \cdot b_i.$$ (308)

  
  
  Het inproduct $< f \vert g >$ van twee complexe functies ${\bf f}$ en ${\bf g}$ wordt verkregen door voor elk argument $x$ de functiewaarden te vermenigvuldigen. De integraal van al deze producten wordt het inproduct¹² genoemd,
  

  $$< f \vert g > = \int_{-\infty}^\infty f^*(x) \cdot g(x) dx.$$ (309)

  
  

• De lengte of norm van een vector of functie wordt gedefinieerd als de wortel uit het inproduct van de vector of functie met zichzelf,
  

  $$\vert {\bf a} \vert = \sqrt{< a \vert a >},               \vert {\bf f} \vert = \sqrt{< f \vert f >}.$$ (310)

  
  

• De hoek $\phi$ tussen twee vectoren of functies wordt ook met behulp van het inproduct gedefinieerd,
  

  $$\cos{\phi} = \sqrt{ <a \vert b ><b \vert a> \over <a \vert... ...rt{ <f \vert g ><g \vert f> \over <f \vert f ><g \vert g> }.$$ (311)

  
  

• Twee vectoren of functies zijn orthogonaal als hun scalair product gelijk is aan nul,
  

  $${\bf a} \perp {\bf b}  \leftrightarrow  < a \vert b > = 0... ... {\bf f} \perp {\bf g}  \leftrightarrow  < f \vert g > = 0.$$ (312)

  
  

• Twee vectoren of functies zijn parallel als de een uit de andere verkregen kan worden door te vermenigvuldigen met een scalar,
  

  $${\bf a} \Vert {\bf b}  \leftrightarrow  {\bf a} = c {\bf ... ...\bf f} \Vert {\bf g}  \leftrightarrow  {\bf f} = c {\bf g}.$$ (313)

  
  

Na al deze overeenstemmingen willen we op het wezenlijke verschil tussen een vector en een functie wijzen: een functie is een vector met oneindig veel dimensies. Hierdoor hebben twee functies veel meer mogelijkheden om niet parallel te zijn in vergelijking met twee vectoren. Functies hebben bijvoorbeeld meer mogelijkheden orthogonaal te zijn.