Bases in de Hilbert ruimte

We beschouwen de verzameling $P(N)$ van alle polynomen van de graad $<N$,

$$p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_{N-1}x^{N-1},$$ (314)

op het interval $-1 \leq x \leq 1$. De functies zijn op dit domein zeker kwadratisch integreerbaar en we hebben dus een bona fide inproduct ruimte. Een voor de hand liggende basis is de verzameling

$$\vert e_1 > = 1,  \vert e_2 > = x,  \vert e_3 > = x^2,  \cdots ,  \vert e_N > = x^{N-1} .$$ (315)

We hebben duidelijk te maken met een $N$-dimensionale vector ruimte. De basis is echter niet orthonormaal, want we zien bijvoorbeeld direct dat

$$< e_1 \vert e_1 > = \int_{-1}^1 1 dx = 2,     <e_1 \vert e_3 > = \int_{-1}^1 x^2 dx = {2 \over 3}.$$ (316)

We kunnen nu de Gram-Schmidt procedure toepassen, teneinde de basis te orthonormaliseren. Als we dat doen vinden we de Legendre polynomen, $P_n(x)$, behalve dan dat Legendre niet zo op de normering gelet heeft,

$$\vert e_n^\prime > = \sqrt{n-{1 \over 2}}  P_{n-1}(x),  (n=1, 2, N).$$ (317)

De eerste paar Legendre polynomen worden in table 2 getoond.

Tabel 2: Enkele van de eerste Legendre polynomen, $P_n(x)$.

$P_0 = 1$

$P_1 = x$

$P_2 = {1 \over 2}(3x^2 -1 )$

$P_3 = {1 \over 2}(5x^3 - 3x)$

$P_4 = {1 \over 8}(35x^4 - 30x^2 + 3)$

$P_5 = {1 \over 8}(63x^5 - 70x^3 + 15x)$

Als tweede voorbeeld beschouwen we de verzameling $T(N)$ van alle goniometrische functies van de vorm

$$f(x) = \sum_{n=0}^{N-1} \left[ a_n \sin{(n\pi x)} + b_n\cos{(n\pi x)} \right] ,$$ (318)

op het interval $-1 \leq x \leq 1$. Ook nu kunnen we laten zien dat

$$\vert e_n > = {1 \over \sqrt{2}}e^{in\pi x},  (n=0, \pm 1, \cdots , \pm (N-1))$$ (319)

een orthonormale basis vertegenwoordigt. Hierdoor kunnen we een willekeurige functie schrijven als een lineaire combinatie van deze basis functies. Hierop berust de Fourieranalyse.