next up previous contents
Next: Matrices en operatoren Up: Operatoren en complexe functies Previous: Inleiding   Contents

Bases in de Hilbert ruimte

We beschouwen de verzameling $P(N)$ van alle polynomen van de graad $<N$,
\begin{displaymath}
p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_{N-1}x^{N-1},
\end{displaymath} (314)

op het interval $-1 \leq x \leq 1$. De functies zijn op dit domein zeker kwadratisch integreerbaar en we hebben dus een bona fide inproduct ruimte. Een voor de hand liggende basis is de verzameling
\begin{displaymath}
\vert e_1 > = 1,  \vert e_2 > = x,  \vert e_3 > = x^2,  \cdots , 
\vert e_N > = x^{N-1} .
\end{displaymath} (315)

We hebben duidelijk te maken met een $N$-dimensionale vector ruimte. De basis is echter niet orthonormaal, want we zien bijvoorbeeld direct dat
\begin{displaymath}
< e_1 \vert e_1 > = \int_{-1}^1 1 dx = 2,    
<e_1 \vert e_3 > = \int_{-1}^1 x^2 dx = {2 \over 3}.
\end{displaymath} (316)

We kunnen nu de Gram-Schmidt procedure toepassen, teneinde de basis te orthonormaliseren. Als we dat doen vinden we de Legendre polynomen, $P_n(x)$, behalve dan dat Legendre niet zo op de normering gelet heeft,
\begin{displaymath}
\vert e_n^\prime > = \sqrt{n-{1 \over 2}}  P_{n-1}(x),  (n=1, 2, N).
\end{displaymath} (317)

De eerste paar Legendre polynomen worden in table 2 getoond.

Tabel 2: Enkele van de eerste Legendre polynomen, $P_n(x)$.
$P_0 = 1$
$P_1 = x$
$P_2 = {1 \over 2}(3x^2 -1 )$
$P_3 = {1 \over 2}(5x^3 - 3x)$
$P_4 = {1 \over 8}(35x^4 - 30x^2 + 3)$
$P_5 = {1 \over 8}(63x^5 - 70x^3 + 15x)$


Als tweede voorbeeld beschouwen we de verzameling $T(N)$ van alle goniometrische functies van de vorm

\begin{displaymath}
f(x) = \sum_{n=0}^{N-1} \left[ a_n \sin{(n\pi x)} + b_n\cos{(n\pi x)} \right] ,
\end{displaymath} (318)

op het interval $-1 \leq x \leq 1$. Ook nu kunnen we laten zien dat
\begin{displaymath}
\vert e_n > = {1 \over \sqrt{2}}e^{in\pi x},  (n=0, \pm 1, \cdots , \pm (N-1))
\end{displaymath} (319)

een orthonormale basis vertegenwoordigt. Hierdoor kunnen we een willekeurige functie schrijven als een lineaire combinatie van deze basis functies. Hierop berust de Fourieranalyse.
next up previous contents
Next: Matrices en operatoren Up: Operatoren en complexe functies Previous: Inleiding   Contents
Jo van den Brand 2004-09-25