Plausibiliteitsargumenten en Schrödingervergelijking

We hebben gezien dat het gebruik van de tweede wet van Newton, ${\bf F}=m{\bf a}=m{d^2 {\bf s} \over dt^2}$, het in de klassieke fysica veelal mogelijk maakt een golfvergelijking op te stellen. Analoog proberen we nu een differentiaalvergelijking op te stellen waaruit we de toestandsfunctie kunnen afleiden. We zullen deze vergelijking, de Schrödingervergelijking, `afleiden' uit plausibiliteitsargumenten en beperken de discussie hier tot één ruimtelijke dimensie. We stellen dat de Schrödingervergelijking dient te voldoen aan:

• De postulaten van de Broglie en Einstein: $\lambda = {h \over p}$ en $E=h\nu$.
• De vergelijking dient consistent te zijn met de niet-relativistische relatie tussen energie en impuls, $E={p^2 \over 2m}+V$.
• De vergelijking dient verder lineair te zijn in $\psi (x,t)$. Dit betekent dat indien $\psi_1$ en $\psi_2$ oplossingen van de Schrödingerverlijking zijn, dan dient $\psi = c_1\psi_1 +c_2\psi_2$ óók een oplossing hiervan te zijn. Deze eis tot lineariteit maakt toepassing van het superpositieprincipe mogelijk en leidt bijvoorbeeld tot interferentieverschijnselen.
• We gaan er van uit dat in het speciale geval dat de potentiële energie $V(x,t) = V_0$ constant is en er dus geen kracht op het deeltje werkt⁵, we te maken hebben met een vrij deeltje met $\lambda = {h \over p}$ en $\nu = {E \over h}$, waarvan de toestandsfunctie gegeven wordt door een harmonische golf, $\psi (x,t) = \cos{(kx-\omega t)} + \gamma \sin{(kx -\omega t)}$. Energiebehoud levert in dit geval de relatie
  

  $${h^2 \over 2m\lambda^2}+V = h\nu .$$ (137)

  
  
  Gebruikmakend van $k = {2\pi \over \lambda}$, $\omega = 2\pi \nu$ en $\hbar = {h \over 2\pi}$ vinden we
  

  $${\hbar^2 k^2 \over 2m}+V = \hbar \omega .$$ (138)

  
  

We weten dat elke partiële afgeleide naar $x$ een factor $k$ oplevert en verwachten dan ook dat de gezochte differentiaalvergelijking een tweede-orde partiële afgeleide naar de plaats bevat. Verder verwachten we een eerste-orde partiële afgeleide naar de tijd (vanwege de factor $\omega$) en schrijven de differentiaalvergelijking dan ook als

$$\alpha {\partial^2 \psi \over \partial x^2} + V\psi = \beta {\partial \psi \over \partial t}.$$ (139)

Machten van $\psi$ kunnen niet voorkomen in de gezochte vergelijking vanwege de eis dat de Schrödingervergelijking lineair in $\psi (x,t)$ dient te zijn.

We leiden de vergelijking nu af; dat betekent dat we de constanten $\alpha$, $\beta$ en $\gamma$ gaan bepalen, voor het geval dat de potentiële energie constant is, $V(x,t) = V_0$. We proberen dan ook de oplossing

$$\psi (x,t) = \cos{(kx-\omega t)} + \gamma \sin{(kx -\omega t)}.$$ (140)

We berekenen de benodigde partiële afgeleiden,

$$\begin{array}{ll} {\partial \psi \over \partial x} & = -k ... ...ga t)} - \omega\gamma \cos{(kx -\omega t)}. \\ \end{array}$$ (141)

Invullen van de tweede-orde afgeleide in vergelijking (142) levert

$$\begin{array}{ll} -\alpha k^2 \cos{(kx-\omega t)} & - \alp... ...} - \beta \omega\gamma \cos{(kx -\omega t)}, \\ \end{array}$$ (142)

ofwel

$$[ -\alpha k^2 +V_0+\beta \omega \gamma ]\cos{(kx-\omega t)} ... ...k^2\gamma +V_0\gamma -\beta \omega ] \sin{(kx -\omega t)} =0.$$ (143)

Bovenstaande gelijkheid kan enkel gelden indien

$$-\alpha k^2 +V_0 = -\beta \omega \gamma    {\rm en}     -\alpha k^2 +V_0 = {\beta \omega \over \gamma} .$$ (144)

Aftrekken van beide vergelijkingen levert

$$0 = -\beta \omega \gamma -{\beta \omega \over \gamma}   \r... ... \over \gamma},   \gamma^2 =-1,   \gamma=\pm\sqrt{-1}=\pm i .$$ (145)

Invullen van dit resultaat in vergelijking (147) resulteert in

$$-\alpha k^2 +V_0 = \mp i\beta \omega .$$ (146)

We vergelijken dit met het reeds gevonden resultaat

$${\hbar^2k^2 \over 2m} +V_0 = \hbar \omega$$ (147)

en vinden voor de constanten

$$\alpha = -{\hbar^2 \over 2m}    {\rm en}    \mp i\beta = \hbar ,     {\rm of}    \beta = \pm i\hbar .$$ (148)

We zien dat we twee keuzen hebben voor $\beta$. Vanaf nu kiezen we $\underline{\beta = +i\hbar}$ en vinden

$-{\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 \psi (x,t) \over \partial x^2} + V(x,t) \psi (x,t) = i\hbar {\partial \psi (x,t) \over \partial t}.$

Deze vergelijking is de tijdafhankelijke Schrödingervergelijking. Merk op dat we aannemen dat het gevonden resultaat ook geldig is indien $V(x,t) \neq V_0$.

We kunnen demonstreren dat de gevonden vergelijking lineair is in $\psi (x,t)$. We nemen aan dat $\psi_1$ en $\psi_2$ voldoen aan de Schrödingervergelijkingen

$$\begin{array}{rl} -{\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 \psi_1 (x... ...ar {\partial \psi_2 (x,t) \over \partial t}. \\ \end{array}$$ (149)

We construeren nu volgens het superpositieprincipe de golffunctie $\psi = c_1\psi_1 +c_2\psi_2$ en verkrijgen

$$\begin{array}{rl} -{\hbar^2 \over 2m}\left( c_1 {\partial^... ...ial \psi_2 (x,t) \over \partial t} \right) = 0 . \end{array}$$ (150)

Dit kan herschreven worden tot

$$c_1 \left[ -{\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 \psi_1 \over \par... ...psi_2 - i\hbar {\partial \psi_2 \over \partial t} \right] =0$$ (151)

en we zien dat inderdaad aan lineariteit is voldaan.