Fouriercoëfficiënten en Fourierreeksen

Volgens de stelling van Fourier kan elke periodieke beweging worden uitgedrukt als een superpositie van harmonische bewegingen met frequenties $\omega$, $2\omega$, .., $n\omega$ ofwel perioden $T$, ${T \over 2}$, .., ${T \over n}$. Stel dat $\xi =f(x-vt)$ een periodieke golfbeweging is, dit wil zeggen een golfbeweging die zich op een gegeven punt herhaalt na $T$, $2T$, .., $nT$. Dan geldt

$$\xi = f(x-vt)=f[x-v(t \pm T)] = f(x-vt \mp vT ).$$ (44)

Dit betekent dat op een gegeven tijdstip $\xi$ zich herhaalt als $x$ toe- of afneemt met $vT$, $2vT$, .., $nvT$, .. Als we dus, in plaats van $t$ te veranderen, $x$ veranderen met $\lambda = vT$, herhaalt de golf zich in de ruimte. Een golfbeweging die periodiek in de tijd is, is dus ook periodiek in de ruimte. Wij hadden al gevonden dat dit het geval was voor een eenvoudige sinusvormige of harmonische golfbeweging.

Stel nu dat $\xi = f(x)$ een in de ruimte periodieke functie is met golflengte $\lambda$, dus $f(x) = f(x+\lambda )$. Volgens de stelling van Fourier mogen we dan schrijven

$$\begin{array}{rl} \xi = f(x) = {a_0 \over 2} & + a_1 \cos... ... \sin{2kx} + \cdots + b_n \sin{nkx} + \cdots \\ \end{array}$$ (45)

De golfbeweging $\xi =f(x-vt)$ kan met $\omega = kv$ uitgedrukt worden als

$$\begin{array}{rl} \xi = f(x-vt) = {a_0 \over 2} & + a_1 ... ...dots + b_n \sin{ n(kx - \omega t)} + \cdots ,\\ \end{array}$$ (46)

waaruit blijkt dat elke periodieke beweging kan worden uitgedrukt als een superpositie van harmonische golven met frequentie $\omega$, $2\omega$, .., $n\omega$, .. en golflengten $\lambda$, $\lambda /2$, .., $\lambda /n$, ...

Figuur 7: Het verschil in klank tussen bijvoorbeeld een viool en een fluit ontstaat door de aanwezigheid van de boventonen met verschillende relatieve amplitudes. Het Fourierspectrum van het geluid is voor elk instrument verschillend.

Door harmonische golven op te tellen, waarvan de frequenties een veelvoud van een bepaalde grondfrequentie zijn en waarvan de amplitudes geschikt gekozen zijn, kunnen we dus bijna elke willekeurige periodieke functie verkrijgen. De frequentie $\omega$ wordt de grondfrequentie (of grondtoon) genoemd en de frequenties $2\omega$, $3\omega$, .., $n\omega$, .. vormen de harmonischen (of boventonen). De stelling van Fourier geeft ook een verklaring voor het verschil in klank van het geluid dat door diverse muziekinstrumenten wordt voortgebracht. Dezelfde toonhoogte, voortgebracht door een piano, gitaar en hobo, klinkt verschillend in onze oren, hoewel de tonen dezelfde grondfrequentie hebben. Het verschil ontstaat door de aanwezigheid van de boventonen met verschillende relatieve amplitudes. Het Fourierspectrum van het geluid is voor elk instrument verschillend.

De coëfficiënten die horen bij de Fourierreeks van

$$f(x) = {a_0 \over 2} + \sum_1^\infty \left( a_n \cos{nx} + b_n \sin{nx} \right)$$ (47)

kunnen bepaald worden met de formules van Euler

$$\forall_{n \geq 0} \left[ a_n = {1 \over \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos{nx} {\rm d}x \right]$$

$$\forall_{n \geq 0} \left[ b_n = {1 \over \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin{nx} {\rm d}x \right] .$$

Voorbeeld: De functie $f(x)$ getoond in Fig. 8 is periodiek met periode $2\pi$ en wordt gegeven door $f(x)=x$ als $-\pi < x \leq \pi$. Bereken de Fourierreeks van $f(x)$.

Figuur 8: De zaagtandfunctie $f(x)$ wordt rechtsboven getoond en is periodiek met periode $2\pi$. De functie wordt gegeven door $f(x)=x$. Ook andere functies worden getoond. Het is mogelijk deze functies op te bouwen met harmonische golven. De successievelijke benadering voor de eerste vier termen wordt getoond.

Oplossing: Merk allereerst op dat $f(x)$ op het interval $-\pi < x \leq \pi$ een oneven functie² is , dus $a_n=0$ voor elke $n$. Er geldt

$$b_n = {1 \over \pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin{ nx }{\rm d}x = {2 \over n\pi} \int_0^{\pi} x{\rm d} (-\cos{nx})$$

$$= 2 \left[ {-x \cos{nx} \over n\pi} \right]_0^n + {2 \over n\pi} \int_0^\pi \cos{nx} {\rm d} x = {-2 \cos{nx} \over n}+0,$$

dus $b_n = -{2 \over n}$ als $n$ even is en $b_n = {2 \over n}$ als $n$ oneven is. De gevraagde Fourierreeks is dus

$$f(x) = 2 \sum_1^\infty \left( -1 \right)^{n+1} {\sin{nx} \over n} .$$ (48)

Fig. 8 geeft een voorstelling van de opbouw van een zaagtandfunctie uit haar harmonische golven.