Complexe schrijfwijze van de Fourierreeks

Uit de formule $e^{ix}= \cos{x} + i\sin{x}$ volgt dat $\sin{x} = {1 \over 2} i\left( e^{-ix} - e^{ix} \right)$ en $\cos{x} = {1 \over 2} i\left( e^{ix} + e^{-ix} \right)$. Dus

$$f(x) = {a_0 \over 2} + \sum_1^\infty \left( a_n \cos{nx} + b_n \sin{nx} \right)$$

$$= {a_0 \over 2} + {1 \over 2} \sum_1^\infty \left( \left( a_n -ib_n \right) e^{inx} + \left( a_n + ib_n \right) e^{-inx} \right) .$$

Stellen we nu $A_n = {1 \over 2} \left( a_n -ib_n \right), (n>0), A_{-n} = {1 \over 2} \left( a_n + ib_n \right), (n>0),$ en $A_0 = {1 \over 2}a_0$, dan gaat de goniometrische reeks over in

$$f(x) = \sum_{-\infty}^{\infty} A_n e^{inx}.$$ (49)

Deze reeks is de Fourierreeks van een periodieke functie $f(x)$ met periode $2\pi$ als

$$A_n = {1 \over 2\pi} \int_0^{2\pi} f(x) e^{-inx} {\rm d} x.$$ (50)

Merk op dat wanneer $F(t)$ periodiek is met periode $T$, en $\omega = {2\pi \over T}$, dan is

$$f(x) = \sum_{-\infty}^{\infty} A_n e^{inx}    {\rm met}     A_n = {1 \over 2\pi} \int_0^T F(x) e^{-in\omega t} {\rm d} t$$ (51)

de Fourierreeks van $F(t)$.