Fouriertransformatie

We beschouwen nu een functie $f(x)$ die gedefinieerd is op $L = (-\infty , \infty )$ en die niet noodzakelijkerwijs periodiek is. We kunnen ons voorstellen dat $f(x)$ benaderd kan worden met een superpositie van periodieke functies waarvan de periode $\infty$ benadert. De Fouriertransformatie is een generalisatie van de complexe Fourierreeks in de limiet $L \rightarrow \infty$. We vervangen de discrete $A_n$ door de continue $F(k)dk$ en laten $n/L \rightarrow k$. Vervolgens vervangen we de som door een integraal. Voor elke functie $f(x)$, waarbij $x$ zowel reëel als complex kan zijn, verkrijgen we

$$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} F(k) e^{2\pi ikx}dk    {\rm en}     F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi ikx}dx.$$ (52)

We noemen $F(k)$ de Fouriergetransformeerde en $f(x)$ de inverse transformatie.

Met name fysici geven er de voorkeur aan om de transformatie te schrijven in termen van hoekfrequenties, bijvoorbeeld $\omega = 2\pi \nu$, en we krijgen dan

$$F( k ) = {\mathcal{F}}[f(x)] = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int... ...1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} F(k) e^{ikx}dk .$$ (53)

Tenslotte kunnen we nog een $n$-dimensionale Fouriertransformatie definiëren voor ${\bf k, x} \in {\mathbb{R}}^n$ door

$$F( {\bf k} ) = {\mathcal{F}}[f({\bf x})] = {1 \over (\sqr... ...infty}}_{n} f({\bf x}) e^{-i{\bf k}\cdot {\bf x}}d^n{\bf x}$$ (54)

en

$$f({\bf x}) = {\mathcal{F}}^{-1}[F({\bf k})] = {1 \over (\... ...nfty}}_{n} F({\bf k}) e^{i{\bf k} \cdot {\bf x}}d^n{\bf k} .$$ (55)