Beschrijving van een golfpakket

Als voorbeeld beschouwen we een golf die op $t=0$ beschreven wordt door de functie $f(x)$ afgebeeld in Fig. 9. De golf wordt `gechopped', waardoor er een puls of golfpakket met lengte $\Delta x = x_2 -x_1 = a$ wordt verkregen. We stellen de golffunctie van de puls voor als

$$f(x,0) = \left\{ \begin{array}{ll} \xi_0 \sin{k_0 x} & x_... ...q x \leq x_2 \\ 0 & {\rm erbuiten}\\ \end{array} \right.$$ (56)

Figuur 9: Fourier analyse van een golfpakket met lengte $\Delta x = a$ en amplitude $\xi_0 \sin{k_0 x}$ voor het interval $x_1 \leq x \leq x_2$. Links wordt het golfpakket gegeven, terwijl rechts het impulsspectrum getoond wordt.

Elke functie kan geschreven worden als een superpositie van harmonische golven. We schrijven dan

$$f(x,0) = {1 \over 2\pi} \int_{-\infty}^\infty b(k) e^{ikx}dk.$$ (57)

Vervolgens proberen we de coëfficiënten te berekenen door

$$b(k) = {1 \over 2\pi} \int_{-\infty}^\infty f(x,0) e^{-ikx}dx .$$ (58)

We merken op dat de golffunctie $\xi_0 \sin{k_0 x}$ van de puls geschreven kan worden als het imaginaire deel van $e^{ik_0x}$ en vinden voor ons geval

$$b(k) = {1 \over \sqrt{2\pi a}} \int_{-a/2}^{+a/2} e^{ik_0x}... ... = \sqrt{2 \over \pi a} {\sin{[(k-k_0)a/2]} \over k - k_0} .$$ (59)

Deze amplitude is geschetst in het rechter paneel van Fig. 9.

Indien de originele puls, $\xi_0 \sin{k_0 x}$, zich uitstrekte van $-\infty , \infty$, dan was het niet nodig geweest om een Fourieranalyse te maken, omdat de kromme dan een harmonische beweging met golfgetal $k_0$ voorstelde. Echter, om de kromme voor $x < x_1$ en $x >x_2$ tot nul te reduceren moeten we andere frequenties toevoegen, zodat de resulterende Fourierreeks in die gebieden nul is. Een eindige puls is dus een samenstelling van vele frequenties, ook al heeft de trillingsbron een zeer bepaalde frequentie.

We zien dat het frequentiespectrum $b(k)$ een maximum heeft voor $k=k_0$. Het gebied van $k$ waarvoor $b(k)$ groter is dan de helft van het maximum voldoet bij benadering aan de voorwaarde

$$\left\vert {1 \over 2} (k-k_0) \Delta x \right\vert < {\pi ... ...     -{\pi \over \Delta x} < k - k_0 < {\pi \over \Delta x},$$ (60)

waarbij $\Delta x = a$. Als we dus stellen dat $\Delta k = 2\pi / \Delta x$, dan zien we dat de enige frequenties met behoorlijke amplitudes in het gebied $\Delta k$ rond het maximum $k_0$ liggen, gegeven door

$$\Delta x \Delta k \approx 2 \pi .$$ (61)

We zien dat hoe korter de tijdsduur van de puls is, des te groter het frequentiegebied is dat nodig is om de puls nauwkeurig voor te stellen.