De golfvergelijking

In het volgende gaan we na hoe we kunnen bepalen of een bepaald fysisch verschijnsel, voorgesteld door een gegeven tijdafhankelijk veld, zich als een golf zonder vervorming voortplant. De velden worden veelal door dynamische wetten beheerst, die in de vorm van differentiaalvergelijkingen kunnen worden uitgedrukt. De vergelijking die het golfverschijnsel beschrijft wordt de golfvergelijking genoemd en dit is in het algemeen een differentiaalvergelijking. Als voorbeeld bespreken we hier de transversale golven op een snaar (van bijvoorbeeld een gitaar).

Figuur 10: Een snaar waarin een spankracht $T$ heerst wordt over een kleine afstand $\xi$ vanuit zijn evenwichtstoestand verplaatst. We beschouwen een deel AB met lengte d$x$.

In de snaar heerst een spankracht $T$ en in de evenwichtstoestand is de snaar recht. Vervolgens verplaatsen we de snaar loodrecht op zijn lengterichting over een kleine afstand (zie Fig. 20). We beschouwen een deel AB met lengte d$x$ dat zich op een afstand $\xi$ van de evenwichtstoestand bevindt. Omdat we de verplaatsing $\xi$ klein aannemen, mogen we aannemen dat de tangentiële spankracht in elk punt van de snaar gelijk is gebleven. Wegens de kromming van de snaar zijn de krachten $T$ niet precies tegengesteld gericht. De resulterende kracht op het stuk AB in naar boven gericht en bedraagt

$$F_y = T( \sin{\alpha^\prime} - \sin{\alpha} ).$$ (62)

Omdat de snaar slechts zwak gekromd is, zijn de hoeken $\alpha^\prime$ en $\alpha$ klein en kunnen ze door hun tangenten vervangen worden. We vinden

$$F_y = T( \tan{\alpha^\prime} - \tan{\alpha} ) = T{\rm d}(\t... ...a}) = T{\partial \over \partial x} (\tan{ \alpha }){\rm d}x.$$ (63)

We merken op dat $\tan{\alpha}$ de helling van de snaar is en deze is gelijk aan $\partial \xi / \partial x$. We vinden hiermee

$$F_y = T {\partial \over \partial x} \left( {\partial \xi \... ...) {\rm d}x = T {\partial^2 \xi \over \partial x^2} {\rm d}x.$$ (64)

De massa per lengte-eenheid van de snaar is $\mu$ en de massa van het stuk AB is gelijk aan $\mu {\rm d}x$. We gebruiken nu de tweede wet van Newton, ${\bf F} = m{\bf a} = m{\partial^2 \xi \over \partial t^2}$, die de dynamica beschrijft en vinden

$$(\mu {\rm d}x) {\partial^2 \xi \over \partial t^2} = T {\p... ... t^2} = {T \over \mu} {\partial^2 \xi \over \partial x^2}.$$ (65)

Dit is de golfvergelijking die transversale trillingen op een snaar beschrijft als de amplitude klein is. De voortplantingssnelheid van de transversale golf is $v = \sqrt{T / \mu}$.