De golffunctie

Als we licht als een golfverschijnsel interpreteren en spreken over bijvoorbeeld de golflengte, dan hebben we in gedachten dat licht een configuratie van elektrische en magnetische velden is die zich met de lichtsnelheid voortplant in de ruimte. Materiegolven worden beschreven door een golffunctie $\psi$. Dergelijke golven beschrijven de beweging van deeltjes op dezelfde manier als elektromagnetische golven de beweging van fotonen beschrijven. We weten echter niet welke grootheid in geval van een materiegolf correspondeert met bijvoorbeeld het elektrische veld van een elektromagnetische golf. We beschouwen allereerst een nuttig theorema dat van toepassing is op alle soorten golven. Als we denken aan golven op een snaar, dan weten we dat we een lopende golf van elke willekeurige golflengte zich kan voorplanten langs een snaar met oneindige lengte. Echter op een gespannen snaar van eindige lengte kunnen slechts staande golven bestaan en deze hebben een discrete set van golflengten. We kunnen onze ervaring samenvatten door te stellen dat: lokalisatie van een golf in de ruimte tot gevolg heeft dat slechts een discrete set golflengten, en hiermee dus een discrete set frequenties, kan voorkomen. Kortom: lokalisatie leidt tot quantisatie. Dit theorema geldt niet alleen voor golven op een snaar, maar voor alle soorten golven, inclusief elektromagnetische golven en zoals we in het vervolg zullen zien, materiegolven.

Figuur 20: Vier patronen voor staande golven op een snaar met lengte $L$. Het patroon voor $n=1$ komt overeen met de grootst mogelijke golflengte (en de laagste frequentie) waarmee de golf kan oscilleren.

Fig. 20 toont enkele van de staande golven die kunnen bestaan op een snaar met lengte $L$. We kunnen deze patronen zien als stationaire toestanden van de trillende snaar, die optreden bij frequenties die gequantiseerd zijn volgens de relatie

$$\lambda = {2L \over n},       {\rm for} n=1,2,3....$$ (112)

Hierbij is $n$ een integer die de modus van trilling bepaalt. We zullen dergelijke integers quantumgetallen noemen. De frequenties die corresponderen met deze golflengten zijn ook gequantiseerd en we vinden

$$\nu = {v \over \lambda} = {v \over 2L}n,       {\rm for} n=1,2,3....$$ (113)

Hierbij is $v$ de golfsnelheid.