Een opgesloten deeltje

Stel dat we straling opsluiten tussen twee perfect reflecterende spiegels die een afstand $L$ uit elkaar staan. We beperken de discussie tot de modus met de grootste golflengte ($n=1$). Licht is een elektromagnetische golf en als we de amplitude van het elektrische veld (een vectorgrootheid) $E(x)$ van deze golf zouden uitrekenen, dan vinden we hiervoor $E = \sin{2\pi x \over \lambda}$. Het elektrische veld verdwijnt voor $x=0$ en $x=L$ en heeft een maximum voor $x = L/2$. De energiedichtheid wordt gegeven door $u={1 \over 2}\epsilon_0E^2$ en we kunnen ons voorstellen dat de energiedichtheid op elk punt veroorzaakt wordt door de dichtheid van fotonen op dat punt, waarbij elk foton een energie $h\nu$ draagt. We concluderen hiermee dat het kwadraat van de amplitude op elk punt van een staande elektromagnetische golf evenredig is met de dichtheid van fotonen op dat punt. We kunnen ook stellen dat de waarschijnlijkheid om een foton op een bepaalde positie aan te treffen evenredig is met het kwadraat van de amplitude die de elektromagnetische golf heeft op dat punt. Merk op dat met deze formulering onze kennis van de fotonpositie inherent statistisch bepaald is. We weten niet precies waar een foton met een bepaalde impuls zich bevindt. Deze statistische limitatie is fundamenteel zowel voor licht als materie.

Figuur 21: De waarschijnlijkheidsdichtheid voor vier toestanden van een elektron dat is opgesloten in een oneindig diepe put. De quantumgetallen zijn aangegeven.

Een eenvoudige inleiding tot materiegolven is de studie van de beweging van een deeltje dat opgesloten is tussen vaste wanden. Met name atomen zijn systemen, waarin elektronen zijn opgesloten. Hier beschouwen we allereerst een ééndimensionaal probleem. We kunnen de relevante golffunctie $\psi$ bestuderen dankzij de wiskundige relatie met twee klassieke problemen: de staande-golf oscillaties van een korte, gespannen snaar en de elektromagnetische oscillaties binnen een trilholte met ideaal reflecterende wanden. Met name de waarschijnlijkheid om een elektron op een bepaalde positie aan te treffen (dit noemt men de waarschijnlijkheidsdichtheid) is evenredig het het quadraat van de golffunctie op die positie. In het ééndimensionale geval is $\psi^2(x)dx$ evenredig met de waarschijnlijkheid het deeltje aan te treffen in het interval tussen $x$ en $x+dx$. Verder geldt dat

$$\int_0^L \psi^2 (x)dx = 1,$$ (114)

waarmee de waarschijnlijkheid het deeltje ergens in het interval tussen 0 en $L$ aan te treffen gelijk is aan 100 %. Fig. 21 geeft de waarschijnlijkheidsdichtheid voor vier toestanden van een elektron dat is opgesloten in een oneindig diepe potentiaalput. De energieën van het opgesloten elektron zijn gelimiteerd tot discrete waarden, die als volgt gevonden kunnen worden. De potentiële energie van het elektron in de put is gelijk aan nul en de totale energie wordt dus gegeven door de kinetische energie ( $E=T={p^2 \over 2m}$). De impuls van het elektron wordt gegeven door $p = {h \over \lambda} = {hn \over 2L}$. We vinden dan voor de totale energie

$$E_n = n^2 {h^2 \over 8mL^2},       {\rm voor }n=1,2,3....$$ (115)

De toestand met $n=1$ heeft de laagste energie en wordt de grondtoestand genoemd. We merken op dat, in tegenstelling tot de klassieke verwachtingen, het elektron niet in rust kan zijn in de put. De reden is dat de laagste energie gegeven wordt door $E_1 = h^2/8mL^2 \neq 0$, en dat wordt ook wel de nulpuntsenergie genoemd. Het is de energie van het deeltje bij een temperatuur $T = 0$ K.