Partiële afgeleiden en oplossingen van de golfvergelijking

Stel dat de functie $\xi$ afhangt van zowel de plaats $x$ als de tijd $t$. Als voorbeeld kiezen we de volgende golffunctie,

$$\xi (x,t) = \xi_0 \sin{2\pi \left( {x \over \lambda} - \nu t \right) } = \xi_0 \sin{ (kx - \omega t)},$$ (66)

met $k = {2\pi \over \lambda}$ het golfgetal en $\omega = 2\pi \nu$ de hoekfrequentie. We kunnen nu de partiële afgeleide van $\xi (x,t)$ naar de plaats nemen, door aan te nemen dat de tijd hierbij een constante is. We vinden

$${\partial \xi (x,t) \over \partial x} = k \xi_0 \cos{ (kx - \omega t)}.$$ (67)

Op analoge wijze vinden we

$${\partial \xi (x,t) \over \partial t} = -\omega \xi_0 \cos{ (kx - \omega t)}.$$ (68)

De tweede-orde partiële afgeleiden kunnen nu ook worden bepaald en we vinden

$$\begin{array}{rl} {\partial^2 \xi (x,t) \over \partial x^2... ... & = -\omega^2 \xi_0 \sin{ (kx - \omega t)}. \\ \end{array}$$ (69)

We kunnen op deze wijze ook partiële afgeleiden nemen van andere functies.

Door invullen van de tweede-orde partiële afgeleiden zien we direct dat de golffunctie gegeven door vergelijking (69) voldoet aan de golfvergelijking (68) met als voorwaarde $\omega /k = \sqrt{T / \mu}$.