Next: Tunnel effect
Up: Één-dimensionale oplossingen van de
Previous: Stap potentiaal met
  Contents
We nemen weer aan dat een vrij deeltje zich beweegt in de richting van
een constante potentiaal,
voor
,
maar nu is de energie van het deeltje groter dan de potentiële energie
. De situatie is geschetst in Fig. 26.
Figuur 26:
Schematische voorstelling van een vrij deeltje met een
energie
dat gereflecteerd wordt aan een stap-potentiaal.
|
We onderscheiden weer twee gebieden.
Vervolgens dienen we weer na te gaan of de meest algemene oplossingen voldoen
aan de specifieke randvoorwaarden van dit probleem.
We onderzoeken de continuiteit van de
functies in het punt
. Voor de golffunctie geldt dan
 |
(187) |
Hieruit vinden we dat geldt
.
Verder dient ook de eerste-orde afgeleide van de golffunctie
continu te zijn in het punt
. Er geldt dus
 |
(188) |
Hieruit vinden we dat geldt
.
Als we bovenstaande uitdrukkingen combineren vinden we
 |
(189) |
Dus voor
vinden we de golffunctie
 |
(190) |
We kunnen de constante
weer bepalen door normeren.
We kunnen in de golffunctie voor
weer de twee lopende golven
en
onderscheiden,
terwijl we aan de doorgelaten golf (
) de amplitude
toekennen,
en berekenen de reflectie coëfficient
.
 |
(191) |
en zien we dat
voor
. Merk op dat in het geval van de klassieke
mechanica geldt dat
.
We zien dus dat er een kans bestaat dat de golf wordt gereflecteerd.
De overige waarschijnlijkheid,
, betreft de kans
dat de golf zich voorplant in de positieve
-richting. Dit noemen
we de transmissiecoëfficient
. De berekening van
is
gecompliceerder, omdat de snelheden in de twee gebieden (
en
)
verschillend zijn. Voor de berekening van
gebruiken we het
concept van waarschijnlijkheidsflux10. De waarschijnlijkheidsstroom
geeft een natuurlijke manier om
de invallende, gereflecteerde en doorgelaten componenten van de
golffunctie te vergelijken. We berekenen
eerst in het
gebied
.
 |
(196) |
Alle kruistermen vallen weg, zodat enkel termen voor inkomende en gereflecteerde
golven overblijven. We vinden
 |
(197) |
Figuur 27:
Links: waarschijnlijkheidsdichtheid in het geval dat
. Rechts:
en
voor een deeltje dat botst met
een stap-potentiaal. De situatie
correspondeert met
.
|
Merk op dat er een eén-op-eén correspondentie bestaat tussen
en
en tussen
en
vanwege het
verdwijnen van de kruistermen.
De berekening van
voor de doorgelaten golf levert
 |
(198) |
De transmissie- en reflectiecoëfficienten
en
worden nu
als volgt geschreven,
 |
(199) |
Invullen levert
 |
(200) |
We kunnen laten zien dat op deze wijze we weer hetzelfde resultaat
vinden voor
, terwijl ook geldt dat
.
Fig. 27 toont de reflectie van een golf aan
een stap-potentiaal.
De linker figuur toont de waarschijnlijkheidsdichtheid in het geval dat
. De rechter figuur toont het gedrag van
en
als functie van de verhouding
.
Merk op dat het speciale geval
correspondeert met
.
Next: Tunnel effect
Up: Één-dimensionale oplossingen van de
Previous: Stap potentiaal met
  Contents
Jo van den Brand
2004-09-25