Meting in een willekeurige richting

Tenslotte beschouwen we de eigenwaarden en eigenfuncties van een component van de spinoperator ${\bf s}$ in de richting van een eenheidsvector ${\bf\hat n}$. Dit komt neer op het oplossen van de eigenwaardenvergelijking

$${\bf\hat n} \cdot {\bf s} \vert \chi > = {1 \over 2} \hbar \lambda \vert \chi > .$$ (591)

Ter vereenvoudiging nemen we aan dat ${\bf\hat n}$ in het $(x,z)$-vlak ligt en de componenten ${\bf\hat n} = (\sin{\theta}, 0, \cos{\theta})$ heeft, met $0 \leq \theta \leq \pi$ en

$${\bf\hat n} \cdot {\bf s} = s_x \sin {\theta} + s_z \cos{ \theta}.$$ (592)

Gebruik maken van de Pauli matrices levert

$$\left( \begin{array}{rr} \cos {\theta} & \sin{ \theta} \\... ... \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \end{array} \right) .$$ (593)

Bovenstaande vergelijking kan eenvoudig worden opgelost. We vinden de equivalente vergelijkingen

$$\begin{array}{ll} a_1 \cos {\theta} + a_2 \sin{ \theta} & ... ...theta} - a_2 \cos{ \theta} & = \lambda a_2 . \\ \end{array}$$ (594)

Elk van deze vergelijkingen geeft een uitdrukking voor de verhouding $a_1 / a_2$ en het is eenvoudig na te gaan dat de vergelijkingen enkel consistent zijn als geldt dat $\lambda = \pm 1$. De eigenwaarden van ${\bf\hat n} \cdot {\bf s}$ zijn dus $\pm {1 \over 2} \hbar$ en hiermee zijn ze hetzelfde¹⁹ als die van $s_z$. We vinden de relaties

$$\begin{array}{lll} a_1 \sin { \theta \over 2 } & = a_2 \co... ...r 2 } &      {\rm voor  } \lambda = - 1 . \\ \end{array}$$ (595)

De normalisatieconditie $\vert a_1 \vert^2 + \vert a_2 \vert^2$ leidt tot de genormeerde eigenvectoren

$$\left( \begin{array}{r} \cos { \theta \over 2 } \\ \sin... ...er 2 } \\ \cos { \theta \over 2 } \\ \end{array} \right)$$ (596)

voor $\lambda = +1$ en $\lambda = -1$ respectievelijk. De willekeurige fasefactor in elk van deze eigenvectoren is zodanig gekozen dat voor $\theta = 0$ (corresponderend met ${\bf\hat n}$ in de richting van de $z$-as) de vectoren samenvallen met de eigenvectoren $\alpha$ en $\beta$.

We duiden de eigenkets van ${\bf\hat n} \cdot {\bf s}$ met eigenwaarden $\pm {1 \over 2} \hbar$ aan met $\vert {\bf\hat n} \pm >$, dan vinden we

$$\begin{array}{ll} \vert {\bf\hat n} + > & = \cos { \thet... ...> + \cos { \theta \over 2 } \vert \beta > . \\ \end{array}$$ (597)

Uit bovenstaande vergelijking kan men eenvoudig de waarschijnlijkheid $P( {\bf\hat z}, {\bf\hat n} + )$ afleiden dat een meting van de spincomponent ${\bf\hat n} \cdot {\bf s}$ van een deeltje in de toestand $\alpha$ (dus met spin parallel aan de eenheidsvector ${\bf\hat z}$ in de richting van de positieve $z$-as) het resultaat $+{1 \over 2} \hbar$ oplevert. Deze waarschijnlijkheid kan verkregen worden door de expansie van $\vert \alpha >$ te beschouwen in termen van de orthonormale spin eigentoestanden $\vert {\bf\hat n} \pm >$ en wordt gegeven door $\vert < {\bf\hat n}+ \vert \alpha > \vert^2$. We vinden

$$P( {\bf\hat z}, {\bf\hat n} + ) = \cos^2{ \theta \over 2 } .$$ (598)

Dit belangrijke resultaat zullen we nodig hebben tijdens de discussie van de ongelijkheid van Bell.