Operatoren voor plaats en impuls

We dienen nu enkel nog te weten wat de operatoren zijn die corresponderen met de desbetreffende fysische grootheden. Helaas kunnen deze niet algemeen afgeleid worden en dient men analogiën te gebruiken. De juiste operator is die, waarvoor men in het grensgeval met de klassieke mechanica de bekende klassieke resultaten verkrijgt. Dergelijke analogiën worden bijzonder duidelijk indien men de klassieke mechanica uitdrukt in het Hamilton en Lagrange formalisme (hetgeen we hier niet zullen doen). Op deze wijze vindt men dat de operator van de positie $x$ overeenkomt met het vermenigvuldigen met de variabele $x$,

$${\bf x \psi} = x {\bf\psi} .$$ (348)

De operator van de impulscomponent $p_x$ correspondeert met de partiële afgeleide naar $x$,

$${\bf p_x \psi} = { \hbar \over i}{\partial \over \partial x} {\bf\psi} .$$ (349)

We vragen ons af hoe de toestanden er uitzien, waarvoor de deeltjes een scherpe waarde van de impulscomponent $p_x$ hebben. In dat geval dient hun toestandsfunctie $\psi$ een eigenfunctie van de impulsoperator zijn,

$${\bf p_x \psi} = { \hbar \over i}{\partial \over \partial x} {\bf\psi} = p_x {\bf\psi} .$$ (350)

Enkel een exponentiële functie is evenredig met zijn eigen afgeleide en daarom wordt een toestand met scherp gedefinieerde impuls geschreven als

$$\psi = \psi_0 e^{{i \over \hbar}p_x x}.$$ (351)

Het reële deel hiervan is een harmonische golf die geschreven kan worden als

$$\psi_0 \cos{{p_x \over \hbar} x}= \psi_0 \cos{{2\pi \over \lambda} x},$$ (352)

waarbij de golflengte gelijk is aan $\lambda = {h \over p}$ zoals vereist door de Broglie. Enkel harmonische $\psi$ golven hebben een scherp bepaalde impuls. Nuttig is de afkorting $k = {2\pi \over \lambda}$, met $k$ het golfgetal, waarmee de impulseigenfunctie geschreven kan worden als

$$\psi = \psi_0 e^{ikx}.$$ (353)

Het is iets gecompliceerder om de vraag te beantwoorden welke toestanden corresponderen met een deeltje dat zich op een scherp bepaalde positie bevindt, bijvoorbeeld op positie $x=a$. In dat geval dient $\psi$ een eigenfunctie van de plaatsoperator te zijn,

$${\bf x \psi} = x {\bf\psi} = a {\bf\psi}.$$ (354)

Hierbij dient vermenigvuldigen met de variabele $x$ overeen te komen met vermenigvuldigen met de constante $a$. Als we dat proberen, dan vinden we dat hiervoor de functie $\psi$ overal gelijk aan nul dient te zijn, behalve bij $x=a$! Deze functie, die overal nul is behalve op de positie $x=a$, waar ze oneindig is, heet de $\delta$-functie. Men kan zich deze functie voorstellen als bijvoorbeeld een Gaussverdeling waarvan de breedte steeds kleiner wordt, maar waarvan het maximum tegelijkertijd steeds hoger wordt. Indien $\psi (x)$ geen $\delta$-functie is, dan heeft $x$ geen scherpe waarde en kan het deeltje zich overal bevinden. Volgens de axiomas van de quantummechanica wordt de meest waarschijnlijke positie dan gegeven door

$$<x> = <\psi \vert x \vert \psi > = \int_{-\infty}^{+\infty... ...(x) x\psi (x) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} x\psi^2 (x) dx .$$ (355)

Deze vergelijking ziet er hetzelfde uit die voor de gemiddelde waarde van een grootheid $x$, waarvan we enkel de waarschijnlijkheidsverdeling $P(x)$ kennen,

$$< x > = \int_{-\infty}^{+\infty} xP(x) dx ,$$ (356)

indien we ervan uitgaan dat $P(x)$ op de juiste wijze genormeerd is. Dan geldt namelijk dat $\int_{-\infty}^{+\infty} P(x) dx =1$. Men kan $\psi^2(x)dx$ dus interpreteren als de waarschijnlijkheid¹³ dat bij een meting het deeltje in het interval tussen $x$ en $x+dx$ zou worden aangetroffen.