De onzekerheidsrelaties van Heisenberg

Het is duidelijk dat een eigenfunctie van impuls (een harmonische golf) niet tegelijkertijd een eigenfunctie van de plaats ($\delta$-functie) kan zijn. Er bestaat dus geen toestand, waarin een deeltje tegelijkertijd een scherp bepaalde impuls $p_x$ en een scherp bepaalde positie $x$ heeft. Men kan zelfs zeggen dat voor een toestand met scherp bepaalde impuls de positie volledig onbepaald is en omgekeerd. Een voorwaarde voor het bestaan van een verwachtingswaarde van de plaats is dat de golffunctie $\psi$ van het deeltje ergens (of op meerdere plaatsen) geconcentreerd is. Voor het bestaan van de verwachtingswaarde van de impuls, dient deze op zijn minst een golfkarakter te hebben. Een redelijk compromis wordt bijvoorbeeld gegeven door de functie in Fig. 32.

Figuur 32: Superpositie van golven die gekozen zijn uit een nauw golflengtegebied levert een golffunctie met een niet al te grote spreiding in positie.

Een dergelijk golfpakket kan volgens de Fourieranalyse worden opgebouwd uit een groot aantal vlakke golven van de vorm (355), echter met verschillende waarden voor $p$, dus met verschillende golflengten. Deze impulsen dienen in een bepaald gebied $\Delta p$ te liggen en men dient er dan verder nog voor te zorgen dat de fasen zó gekozen zijn dat men een maximum creëert op de positie $x=a$. Op alle andere plaatsen kloppen de fasen dan niet meer, indien men oneindig veel waarden voor $p$ gebruikt (in geval van een eindig aantal $p$-waarden krijgen we periodieke herhalingen). We hebben in paragraaf 2.3.4 getoond, dat een dergelijke superpositie een breedte $\Delta x$ heeft, die met de breedte van het gebruikte golflengtegebied samenhangt volgens

$$\Delta x \approx {\lambda^2 \over \Delta \lambda} .$$ (357)

Volgens de relatie van de Broglie is dat identiek aan

$$\Delta x \approx {h \over \Delta p_x}.$$ (358)

Dit is de onzekerheidsrelatie van Heisenberg.

We zullen nu bovenstaande relatie afleiden voor het geval dat de gewenste positie van het deeltje $x=0$, de gemiddelde impuls $p_x$, en het voor de superpositie gebruikte impulsgebied gelijk is aan $(p_x - {\Delta p \over 2}, p_x + {\Delta p \over 2})$. Al deze partiële golven zijn vertegenwoordigd met gelijke amplitude. Dus met andere woorden: we weten niet welke impulswaarde uit dit gebied een voorkeur heeft, maar enkel dat de impuls in dit gebied ligt. Alle waarden in dit gebied zijn even waarschijnlijk! We vinden de toestandsfunctie door superpositie en integreren dus over alle partiële golven,

$$\psi (x) \propto \int_{p_x - {\Delta p \over 2}}^{p_x + {\D... ...ver x} \sin {x \Delta p \over 2 \hbar} e^{ixp_x \over \hbar}.$$ (359)

Dit is een vlakke golf, waarvan de amplitude met de factor $\sin{z} \over z$ gemoduleerd is ( $z={\Delta p \over 2\hbar}x$). Deze functie heeft precies de vorm zoals getoond in Fig. 32. Het hoofdmaximum ligt tussen de waarden $z= -{\pi \over 2}$ en $z=+{\pi \over 2}$ en heeft een breedte

$$\Delta z = \pi,    {\rm en dus}    \Delta x = {h \over \Delta p},$$ (360)

waaruit de onzekerheidsrelatie van Heisenberg volgt.

Als we de operatoren beschouwen, dan uit zich de onzekerheidsrelatie in het feit dat de plaats- en impulsoperator niet verwisselbaar zijn. Men krijgt verschillende resultaten als men op een functie eerst de plaats- en dan de impulsoperator laat werken of omgekeerd,

$${\bf p_x x f} = {\hbar \over i}{\partial \over \partial x}... ...er i} \left( f+ x {\partial {\bf f} \over \partial x} \right)$$ (361)

en

$${\bf x p_x f} = x {\hbar \over i}{\partial \over \partial ... ...f} = {\hbar \over i} x {\partial {\bf f} \over \partial x} .$$ (362)

Het verschil van beide uitdrukkingen bedraagt

$$({\bf p_x x} - {\bf xp_x} ) {\bf f} = {\hbar \over i}{\bf f}$$ (363)

en toont dat iedere functie een eigenfunctie is van de operator ${\bf p_x x} - {\bf xp_x}$ met een eigenwaarde gelijk aan $\hbar \over i$. We gebruiken voor het operatorverschil de notatie $\left[ {\bf p_x},{\bf x} \right] = {\bf p_x x} - {\bf xp_x}$ en noemen $\left[ {\bf p_x},{\bf x} \right]$ de commutator van ${\bf p_x}$ en ${\bf x}$. Onafhankelijk van de keuze van ${\bf f}$ kan men dus de zuivere operatorvergelijking

$$[ {\bf p_x},{\bf x} ]= {\bf p_x x} - {\bf xp_x} = {\hbar \over i}$$ (364)

opschrijven. Dit is een van de verwisselingsrelaties. Wat de impuls betreft zijn er natuurlijk drie, voor elke coördinaat één. Ook bestaat er een dergelijke relatie tussen energie en tijd. Ze geven de abstracte voorstelling van de onzekerheidsrelaties, die gewoonlijk als volgt geformuleerd wordt: `Het is onmogelijk de plaats en impuls van een deeltje of het tijdstip en energie van een gebeurtenis, in het algemeen een paar geconjugeerde grootheden tegelijkertijd scherp te bepalen. Bij een dergelijke meting resteren er altijd onzekerheden $\Delta x$ en $\Delta p_x$, respectievelijk $\Delta t$ en $\Delta E$, waarvan het product principieel niet kleiner gemaakt kan worden dan $\hbar$.'