De quantum Zeno paradox

De `collapse' van de golffunctie is zonder twijfel een opzienbarend ingrediënt in de quantum fysica. Het concept is geïntroduceerd op zuiver theoretische gronden om het feit te verklaren dan onmiddellijk herhaalde metingen hetzelfde resultaat dienen te leveren. Misra en Sudashan<sup>21</sup> hebben in 1977 wat zij het quantum Zeno effect noemen, voorgesteld als een dramatische experimentele demonstratie van de `collapse' van de golffunctie. Het was hun idee om een onstabiel systeem, bijvoorbeeld een atoom in een aangeslagen toestand, te nemen en dit te onderwerpen aan herhaalde metingen. Elke observatie zorgt voor een `collapse' van de golffunctie, waardoor de klok gereset wordt. Hierdoor is het mogelijk om het verwachte verval van het systeem naar een lagere toestand oneindig lang uit te stellen.

Stel dat een systeem begint in de aangeslagen toestand $\psi_b$, dat een natuurlijke levensduur $\tau$ heeft voor de overgang naar de grondtoestand $\psi_a$. Normaal gesproken, voor tijden die significant korter zijn dan $t$, volgt uit vergelijking (636) dat de overgangswaarschijnlijkheid evenredig is met $t$. In feite, omdat de overgangssnelheid gelijk is aan $1/\tau$, zie vergelijkingen (641) en (644), geldt

$$P_{b \rightarrow a} = {t \over \tau}.$$ (634)

Als een meting uitvoeren op tijdstip $t$, dan is de waarschijnlijkheid dat het systeem zich nog steeds in de aangeslagen toestand bevindt gelijk aan

$$P_1 (t) = 1 - {t \over \tau}.$$ (635)

Stel nu dat we het systeem inderdaad in de aangeslagen toestand aantreffen. In dat geval `collapsed' de golffunctie terug naar $\psi_b$ en het hele proces begint opnieuw. Als we een tweede meting uitvoeren, op tijdstip $2t$, dan is de waarschijnlijkheid om het systeem nog steeds in de aangeslagen toestand aan te treffen

$$\left( 1 - {t \over \tau} \right)^2 \approx 1 - {2t \over \tau},$$ (636)

hetgeen hetzelfde is als wanneer we de meting op tijdstip $t$ niet zouden hebben uitgevoerd. Dit is zeker wat men ook naief zou verwachten. Als dit het hele verhaal zou zijn, dan zijn we er niets mee opgeschoten door metingen aan het systeem uit te voeren. In dat geval zou er geen quantum Zeno effect bestaan.

Het is echter zo dat voor extreem korte tijden, de overgangswaarschijnlijkheid niet evenredig is met $t$, maar met $t^2$. Dit volgt uit vergelijking (633) voor kleine $t$ en we vinden

$$P_{b \rightarrow a} = \alpha t^2.$$ (637)

Merk op dat we in onze afleiding om een lineaire tijdafhankelijk te krijgen, hebben aangenomen dat de functie $\sin^2{(\Omega t/2 )}/\Omega^2$ in vergelijking (633) een scherpe piek was. Echter, de breedte van deze piek is van de orde $\Delta \omega = 4\pi /t$ en voor extreem korte $t$ geldt deze benadering niet en gaat de integraal over in $(t^2/4)\int \rho (\omega )d\omega$. In dit geval is de waarschijnlijkheid om het systeem na twee metingen nog steeds in de aangeslagen toestand aan te treffen gelijk aan

$$(1-\alpha t^2 )^2 \approx 1 - 2\alpha t^2,$$ (638)

terwijl dit, wanneer we de eerste meting niet zouden hebben uitgevoerd, zou moeten zijn

$$1 - \alpha (2t)^2 \approx 1 - 4\alpha t^2.$$ (639)

Klaarblijkelijk heeft onze eerste meting aan het systeem op tijdstip $t$ de netto overgangswaarschijnlijkheid naar de grondtoestand verminderd!

Het is inderdaad zo dat wanneer we $n$ metingen uitvoeren gedurende de periode van $t=0$ tot $t=T$ (we maken dus metingen op tijdstippen $T/n$, $2T/n$, $3T/n$, ..., $T$), de waarschijnlijkheid om aan het eind het systeem nog steeds in de aangeslagen toestand aan te treffen, gelijk aan

$$\left( 1 - \alpha (T/n)^2 \right)^n \approx 1 - {\alpha \over n}T^2,$$ (640)

en dit wordt gelijk aan 1 in de limiet $n \rightarrow \infty$. Dit betekent dat een continue geobserveerd onstabiel systeem nooit zal vervallen!