Incoherente verstoringen

De energiedichtheid van een elektromagnetische golf wordt gegeven door $u = {1 \over 2}\epsilon_0 E_0^2$, met $E_0$ de amplitude van het elektrische veld. De overgangswaarschijnlijkheid gegeven in vergelijking (631) is evenredig met de energiedichtheid van de velden,

$$P_{b \rightarrow a} (t) = {2u \over \epsilon_0 \hbar^2} \... ..._0 - \omega )t/2 \right]} \over ( \omega_0 - \omega )^2} .$$ (621)

Bovenstaand resultaat geldt echter alleen voor een monochromatische verstoring, die uit een enkele frequentie $\omega$ bestaat. In veel toepassingen wordt het atoom blootgesteld aan elektromagnetische golven die een heel spectrum van frequenties hebben. In dat geval geldt $u \rightarrow \rho (\omega )d\omega$, waarbij $\rho (\omega )d\omega$ de energiedichtheid in het frequentie gebied $d\omega$ is. De overgangswaarschijnlijkheid neemt dan de volgende vorm aan,

$$P_{b \rightarrow a} (t) = {2u \over \epsilon_0 \hbar^2} \... ...\right]} \over ( \omega_0 - \omega )^2} \right\} d\omega .$$ (622)

In het algemeen zal de term tussen de accoladen scherp gepiekt zijn rond de frequentie $\omega_0$, terwijl $\rho (\omega )$ een relatief brede verdeling heeft. In dat geval mogen we $\rho (\omega )$ vervangen door $\rho (\omega_0 )$ en dit buiten de integraal halen. We vinden

$$P_{b \rightarrow a} (t) = {2u \vert {\mathcal{P}} \vert^2... ...\right]} \over ( \omega_0 - \omega )^2} \right\} d\omega .$$ (623)

Als we de variabelen veranderen in $x \equiv (\omega_0 - \omega )t/2$ en de integraalgrenzen vervangen door $x = \pm \infty$ (de integraal is toch praktisch gelijk aan nul in dat gebied), vinden we een standaardvorm voor de bepaalde integraal,

$$\int_{-\infty}^\infty {\sin^2{x} \over x^2} dx = \pi .$$ (624)

We vinden hiermee

$$P_{b \rightarrow a} (t) \approx {\pi \vert {\mathcal{P}} \vert^2 \over \epsilon_0 \hbar^2} \rho (\omega_0 ) t.$$ (625)

De overgangswaarschijnlijkheid is evenredig met $t$. Het bizarre `flip-flop' gedrag van een monochromatische verstoring is `verwaterd' nu we het systeem aanslaan met een incoherent spectrum van frequenties. In het bijzonder is de overgangssnelheid, $R \equiv dP /dt$ nu een constante,

$$R_{b \rightarrow a} (t) \approx {\pi \over \epsilon_0 \hbar^2} \vert {\mathcal{P}} \vert^2 \rho (\omega_0 ) .$$ (626)

Tot nu toe hebben we aangenomen dat de verstorende golf invalt langs de $y$-richting en gepolariseerd is langs de $z$-richting. Voor een atoom dat zich in een `bad' van fotonen bevindt, die van alle kanten komen en alle mogelijke polarisaties hebben, vinden we

$$R_{b \rightarrow a} (t) \approx {\pi \over 3 \epsilon_0 \hbar^2} \vert {\mathcal{P}} \vert^2 \rho (\omega_0 ) .$$ (627)

Dit is de overgangssnelheid voor gestimuleerde emissie van toestand $b$ naar $a$ onder invloed van incoherente, ongepolariseerd licht, dat van alle kanten invalt. Hierbij is ${\mathcal{P}}$ het matrixelement van het elektrisch dipoolmoment tussen de twee toestanden en $\rho (\omega_0 )$ is de energiedichtheid van de velden, per eenheid frequentie, berekend voor $\omega_0 = (E_b - E_a )/\hbar$.