Spontane emissie

Stel dat we een vat atomen hebben, waarvan er zich $N_a$ in de grondtoestand bevinden en $N_b$ in de aangeslagen toestand. We noemen $A$ de snelheid voor spontane emissie, zodat het aantal deeltjes dat de aangeslagen toestand verlaat ten gevolge hiervan, gelijk is aan $N_bA$. De overgangssnelheid voor gestimuleerde emissie noemen we $B_{ba}\rho (\omega_0 )$ en wordt gegeven door vergelijking (638). Deze snelheid is evenredig met de energiedichtheid van het elektromagnetische veld. Het aantal deeltjes dat per seconde de aangeslagen toestand verlaat door gestimuleerde emissie is dus $N_bB_{ba} \rho (\omega_0 )$. De snelheid van absorptie is ook evenredig met $\rho (\omega_0 )$ en we noemen het $N_aB_{ab} \rho (\omega_0 )$. Er geldt

$${dN_b \over dt} = -N_bA - N_bB_{ba} \rho (\omega_0 ) + N_a B_{ab}\rho (\omega_0 ).$$ (628)

De afgeleide is gelijk aan nul als er evenwicht heerst en we vinden dan

$$\rho (\omega_0 ) = {A \over (N_a / N_b)B_{ab} - B_{ba}}.$$ (629)

Als we nu verder Boltzmann statistiek en de stralingswet van Planck beschouwen, kunnen we concluderen dat de overgangssnelheid voor spontane emissie gelijk is aan

$$A = {\omega^3 \vert {\mathcal{P}} \vert^2 \over 3 \pi \epsilon_0 \hbar c^3}.$$ (630)