...i¹

Galileo Galileï heeft een belangrijke invloed op de ontwikkeling van wetenschap gehad: hij was van mening dat wetenschap gebaseerd diende te zijn op zorgvulding experimenteel onderzoek. Ook beschreef hij waarnemingen wiskundig. Hij formuleerde het equivalentieprincipe, liet zien dat de versnelling van de zwaartekracht uniform is ($g=9.8$ m/s$^2$), toonde dat horizontale en verticale bewegingen afzonderlijk beschreven kunnen worden, en gaf ons het principe van relativiteit. Galileï was hiermee de eerste relativist.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... inertiaalsystemen²

Het referentiesysteem dat verbonden is met het oppervlak van de aarde is niet helemaal een inertiaal referentiesysteem, omdat er een kleine versnelling is van het aardoppervlak ten gevolge van de rotatie van de aarde, alsook een versnelling ten gevolge van de beweging rond de zon. Deze versnellingen zijn kleiner dan $0,01$ m/s$^2$ en kunnen vaak worden verwaarloosd.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... maken³

Dit kan ook begrepen worden uit een gedachtenexperiment van toegeschreven aan Galileï. Stel dat zware voorwerpen sneller vallen dan lichte voorwerpen. We binden vervolgens een lichte kogel vast aan een zware en gooien het stel naar beneden van de toren van Pisa. Nu zal de lichte kogel de zware afremmen en de combinatie valt langszamer dan de zware kogel alleen zou vallen. De combinatie is echter zwaarder dan enkel de zware kogel en zou dus sneller moeten vallen. Ergo, contradictio in terminis.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... voeren⁴

Simon Stevin heeft reeds in 1586 zijn experiment gepubliceerd waarin hij twee loden ballen, een tien keer zwaarder dan de ander, van de klokkentoren van de oude kerk in Delft heeft laten vallen over een afstand van ongeveer 10 m. Hierbij werd geen verschil waargenomen in tegenstelling tot de bewering van aanhangers van Aristoteles. Zijn publicatie was drie jaar vóór Galileï's eerste behandeling van gravitatie en 18 jaar eerder dan Galileï's theoretisch werk over vallende lichamen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... ⁵

Een dergelijk experiment is door astronaut David Scott uitgevoerd op de maan met een hamer en veer tijdens de Apollo 15 missie.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... licht⁶

We weten dat licht een bijzondere plaats inneemt in Einstein's relativiteitstheorie: de snelheid van licht is een universele constante in elk referentiesysteem, terwijl licht een inertiale massa heeft die gelijk is aan nul. We kunnen daarom niet eenvoudig de wet $\vec F = m\vec a$ gebruiken om de beweging van licht te beschrijven.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Dopplerverschuiving⁷

In het geval van geluidsgolven zorgt het Dopplereffect voor een verschuiving naar hogere frequentie van de toon van de sirene van een naderende ziekenwagen, terwijl de toon naar lagere frequenties verschuift als de ziekenwagen van ons af beweegt.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... waarnemer⁸

Evenzo voelen wij de beweging van de aarde rond de zon niet, omdat de aarde in vrije val is en er dus niets te voelen valt.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... bepalen⁹

Relatie (9) kan ook gevonden worden door twee experimentatoren in een ruimteschip te beschouwen, dat reist met constante versnelling $g$. De afstand tussen de twee waarnemers is $h$ in de richting van de versnelling. Laten we aannemen dat het ruimteschip in rust is ten opzichte van een bepaald inertiaalsysteem op het moment dat de waarnemer beneden (bron) een foton uitzendt. Het duurt tijd $t = h/c$ voordat dit foton bij de bovenste (top) waarnemer aankomt. Op dat moment heeft deze waarnemer een snelheid $v = gt = gh/c$ en neemt hij het foton waar met een Dopplerverschuiving, precies volgens vergelijking (9). Het equivalentieprincipe eist dat, indien deze roodverschuiving wordt waargenomen in een experiment dat wordt uitgevoerd onder condities van uniforme versnelling in afwezigheid van een gravitatieveld, dezelfde roodverschuiving waargenomen dient te worden in een experiment onder condities van een uniform gravitatieveld, maar zonder versnelling.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... roodverschuiving¹⁰

Waarnemen van een gravitationele roodverschuiving heeft ook als directe consequentie dat ruimtetijd gekromd dient te zijn.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...$K$¹¹

We kunnen de formule voor de kinetische energie $K$ vinden door de arbeid te beschouwen die verricht moet worden om een deeltje gedurende tijd $dt$ te versnellen. Er geldt $\vec F \cdot d\vec x = \vec F \cdot \vec vdt = {d\vec p \over dt} \cdot \vec vdt = \vec v \cdot d\vec p = \vec v \cdot d(m\vec v)$. Ook geldt $d(\vec v \cdot \vec v)=(d \vec v)\cdot \vec v + \vec v \cdot (d \vec v) = 2(\vec v \cdot d\vec v)$. Aannemende dat de massa constant is vinden we hiermee $\vec v \cdot d(m\vec v) = {1 \over 2}md(\vec v \cdot \vec v) ={1 \over 2} mdv^2 = d \left( {1 \over 2}mv^2 \right)$. Integreren hiervan levert de relatie $K = {1 \over 2} mv^2$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (AU)¹²

De astronomische eenheid was vroeger gedefinieerd als de straal van de cirkelbaan van de aarde (in 1900) rond de zon: 1 AU = $1,496 \times 10^{11}$ m.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... aarde¹³

De getijdenkrachten van de maan op de aarde proberen ook de rotatie van de aarde te synchroniseren met de omlooptijd van de maan. De aarde is echter veel massiever dan de maan. Ongeveer 1 miljard jaar geleden duurde een dag maar ongeveer 18 uur.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Newton¹⁴

Enkele redenen zijn dat in het formalisme van Lagrange de belangrijkste functie een scalair is, waar in de tweede wet van Newton vectoren voorkomen. Ook is het zo dat bepaalde symmetrie-eigenschappen van fysische systemen zich vaak duidelijk openbaren in het Lagrange-formalisme. Het is om deze redenen dat in onder andere de quantumveldentheorie vrijwel uitsluitend met Lagrangianen gewerkt wordt.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... door¹⁵

De notatie $v^i v_i$ betekent in bovenstaand geval $v^i v_i \equiv \sum_{i=1}^3 \left( v_i \right)^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 = \vert \vec v \vert^2 = v^2$. Het betreft de zogenaamde Einstein sommatieconventie die we later veelvuldig zullen gebruiken.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... door¹⁶

Dit is gebaseerd op een eerste-orde Taylorreeks van $L$ rond de waarden $x(t)$ en $v(t)$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... integratie¹⁷

Stel dat $f$ en $g$ functies zijn van $x$, dus $f=f(x)$ en $g=g(x)$. Dan geldt voor de afgeleide van het product ${d \over dx}\left( fg \right) = {df \over dx}g + f{dg \over dx} \rightarrow {df \over dx}g = {d \over dx}\left( fg \right) - f{dg \over dx}$. Integreren over $dx$ levert $\int gdf = fg - \int fdg$. In vergelijking (32) gebruiken we $f = {\partial L \over \partial v}$ en $dg = \delta v dt = d\left( \delta x \right)$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... lichamen...'¹⁸

A. Einstein in een brief naar Ernst Mach, Zürich, 25 Juni 1923.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... lengte¹⁹

Naar de Britse astrofysicus Sir James Jeans (1877 - 1946). We kunnen de grootte $R$ van een sferisch gebied dat instabiel is voor stervorming bij benadering vinden door de gemiddelde kinetische energie ${3 \over 2}kT$ van een molecuul met massa $m$ gelijk te stellen aan de absolute waarde van de gravitationele potentiële energie ${GmM \over R}$. Vervolgens vervangen we de massa $M$ van dit gebied door haar dichtheid $\rho$ via de substitutie $M = {4 \over 3}\pi \rho R^3$. Dit levert dan de benadering ${3 \over 2}kT = {GmM \over R}\rightarrow {3 \over 2}kT = {4 \over 3} \pi G m \rho R^2 \rightarrow R=\left( {9kT \over 8\pi G\rho m} \right)^{1 \over 2}$. Een exacte berekening die de geluidssnelheid in de gaswolk in rekening brengt, levert vergelijking (38).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... warmte²⁰

Ook onze zon is uit een dergelijke protoster ontstaan. De zon heeft een massa $M_\odot = 2 \times 10^{30}$ kg en bestaat uit ongeveer $10^{57}$ waterstofatomen met elk een massa van $m = 1,67 \times 10^{-27}$ kg. De huidige luminositeit van de zon bedraagt $L_\odot = 3,8 \times 10^{26}$ W. We hebben gezien dat de ontsnappingssnelheid van de zon gelijk is aan $v_{\rm ontsnapping} = \sqrt{2GM_\odot \over R_\odot}$. De kinetische energie van een atoom als het de zon bereikt is dus ${1 \over 2}mv_{\rm ontsnapping}^2 = {GM_\odot m \over R_\odot} = 3 \times 10^{-16}$ J. Hieruit volgt dat de gravitationele potentiële energie voldoende is om de protoster enkele miljoenen jaren te laten schijnen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... doorsneden²¹

De werkzame doorsnede is een maat voor de waarschijnlijkheid dat een bepaalde wisselwerking tussen deeltjes plaatsvindt (bijvoorbeeld verstrooiing of een kernreactie). Deze waarschijnlijkheid is vaak sterk afhankelijk van de energie van de deeltjes of de samenstelling van een target dat wordt beschoten. De werkzame doorsnede wordt aangeduid met $\sigma$ en heeft de dimensie van oppervlakte.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... gasdruk²²

We vinden de uitdrukking voor de gasdruk uit de ideale gaswet, $PV=NkT$, met $P$ de gasdruk, $V$ het volume, $N$ het aantal moleculen, $k$ de constante van Boltzmann en $T$ de temperatuur. Omdat de deeltjesdichtheid, ${N \over V} = {\rho \over \mu}$, met $\rho$ de massadichtheid, $\mu$ het moleculaire massa ( $\mu = 2m_p$ voor waterstofmoleculen, H$_2$) en $m_p$ de massa van het proton, kunnen we de gasdruk ook schrijven als $P={\rho kT \over \mu}$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... is²³

Voor massieve sterren met hogere temperatuur kan stralingsdruk wel een belangrijke rol spelen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... massa²⁴

Subrahmanyan Chandrasekhar (1910 - 1995) heeft deze limiet afgeleid, die bepaalt of een instortende ster een witte dwerg wordt of een exotischer object: neutronenster, quarkster of zwart gat.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... elektronvangst²⁵

Elektronvangst is de reactie $p+e^- \rightarrow n+\nu_e$. Hierdoor worden protonen omgezet in neutronen, terwijl de ster neutrino's uitzendt.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... uitrekenen²⁶

G. Baym en C. Pethick, Ann. Rev. Nucl. Sci. 25, 27 (1975); S. Tsuruta, Comm. Astrophys. 11, 151 (1986).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... berekening²⁷

M.A. Ruderman, Sci. Amer. 224, 24 (februari 1971).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Gold²⁸

T. Gold, Nature 218, 731 (1968).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... flavors²⁹

In de natuur komen er drie soorten neutrino's voor: elektron neutrino $\nu_e$, muon neutrino $\nu_\mu$ en tau neutrino $\nu_\tau$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... stromen³⁰

In de zwakke wisselwerking worden $Z$ bosonen of $W$ bosonen uitgewisseld. Omdat het $Z$ boson ongeladen is, spreekt men van neutrale stromen. De $W$ bosonen zijn geladen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Fermi³¹

E. Fermi, Phys. Rev. 75, 12 (1949).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...puntgebeurtenis³²

In het Engels spreken van een event.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... transformatie³³

Voor tensorrekening is basiskennis van transformatietheorie onontbeerlijk. Dit voorbeeld is een eerste kennismaking.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... transformatie³⁴

De transformaties die een rol spelen in de ART zijn over het algemeen niet lineair.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... kromming³⁵

Andere voorbeelden zijn de Hilbertruimte met complexe golffuncties van de quantummechanica, of de Minkowskiruimte van de speciale relativiteitstheorie.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... basis³⁶

Er worden vaak andere symbolen gebruikt voor de basisvectoren, zoals $\bf i$, $\bf j$ en $\bf k$. Ook is het mogelijk om $\vec e$ te zien als een object met hogere rang, bijvoorbeeld een vector van vectoren. Dat is niet fout, maar in ons geval ook niet nuttig.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... beschreven³⁷

We stappen dus af van het begrip vrije vector. In de algemene relativiteitstheorie kunnen we een vector niet eenvoudig vrij verplaatsen!

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... functionaal³⁸

Terwijl een functie een getal als argument neemt en een getal als resultaat oplevert, neemt een functionaal een functie als argument en levert een getal als resultaat. Een voorbeeld is de totale massa die hoort bij een dichtheidsverdeling, waarbij $m = \int \rho (x,y,z) dxdydz$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... functionaal³⁹

Net zoals we vectoren aangeven door een pijltje ($\vec V$) boven het symbool te plaatsen, geven een lineaire functionaal aan door er een tilde ($\tilde{p}$) boven te plaatsen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... getal⁴⁰

Je kunt de 1-vorm zien als een apparaat met een sleuf. Als in deze sleuf een vector geplaatst wordt, dan rolt er een getal uit het apparaat.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... basis⁴¹

Dit is niet de enig mogelijke basis voor 1-vormen. Men kan eenvoudig laten zien dat andere basis 1-vormen voldoen aan $\tilde{\omega^\prime} = U_{~\beta}^{\alpha^\prime} \tilde{\omega}^\beta$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... superscipten⁴²

Door de indices als superscripten te plaatsen kunnen we weer gebruik maken van de elegante en compacte indexnotatie.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... tensoren⁴³

Vergelijk dit eens met wat we gedaan hebben in vergelijking (130).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... argumenten⁴⁴

Men kan een dergelijke tensor opvatten als een apparaat met $M$ gaten waar men 1-vormen en $N$ gaten waar men vectoren in kan stoppen. Nadat men die $M$ 1-vormen en $N$ vectoren erin gestopt heeft, rolt er een reëel getal uit het apparaat. De uitkomst is lineair in elk van de vectoren en 1-vormen die als input gebruikt zijn.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... perfect⁴⁵

Later zullen we zien dat er wel degelijk een afwijking bekend was van de planeetbanen zoals beschreven door newtoniaanse wetten, te weten de perihelium verschuiving van Mercurius. Het verklaren van deze afwijking was een van de eerste experimentele verificaties van Einstein's theorie van de zwaartekracht: de algemene relativiteitstheorie. We komen hier in latere hoofdstukken op terug.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... geheel⁴⁶

Ook hier geldt een kleine opmerking: er waren enkele onduidelijkheiden (zoals de Gibbs correctie factor) die later verklaard zijn door de quantummechanica.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

....⁴⁷

De keuze voor de letter $c$ komt van het Griekse woord voor snelheid, celeritas.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... algemeen⁴⁸

Er zijn uitzonderingen op deze regel: er bestaan ook grootheden die hetzelfde zijn voor alle waarnemers. Een ervan is al genoemd: de lichtsnelheid $c$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... vormen⁴⁹

Merk op dat met de definitie $dT \equiv ict$, we het lijnelement kunnen schrijven als $ds^2 = dT^2+dx^2+dy^2+dz^2$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... optreedt⁵⁰

De correcte plaatsing van de lorentzfactor $\gamma$ kan soms verwarrend zijn: welke waarnemer meet nu een langere tijdsduur? De vuistregel is altijd, dat de waarnemer die in rust is ten opzichte van de twee gebeurtenissen, de kortste tijdsduur meet tussen de twee gebeurtenissen. Dit betekent hier dat $\frac{dt'}{dt} < 1$, wat aangeeft hoe de factor $\gamma$ geplaatst dient te worden.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... beschrijven⁵¹

Deze alternatieve maat voor de snelheid wordt in sommige takken van de fysica meer gebruikt dan de snelheid $v$; hij heeft als naam de rapidity. De reden voor deze voorkeur is dat de snelheid $v$ tussen waarnemers nooit groter kan zijn dan de lichtsnelheid, terwijl de rapidity wel degelijk $\infty$ groot kan worden. Dit heeft soms rekenkundige voordelen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... gebruikt⁵²

Deze rekenregels zijn eenvoudig te bewijzen met behulp van de definities: $\cosh x \equiv \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$, $\sinh x \equiv \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$, ${\rm arctanh} ~x = \frac{1}{2} \ln (\frac{1+x}{1-x})$

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... licht⁵³

Dit geldt in de conventionele leer van de natuurkunde. Er zijn wel degelijk exotische theorieën waarin deeltjes bestaan die sneller gaan dan het licht (de zogenaamde tachyonen); echter, theorieën met tachyonen hebben doorgaans de eigenschap instabiele materie te voorspellen. Zulke deeltjes zullen daarom niet worden beschouwd.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... ruimte⁵⁴

Tijd wordt door Aristoteles niet voorgesteld als een kopie van de reëele lijn $\mathbb{R}$, want $\mathbb{R}$ bevat het voorkeurselement 0. Er is echter geen sprake van een voorkeur voor een oorsprong in de beschrijving van dynamische objecten.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... vorm⁵⁵

Dit is een generalisatie van vergelijking (28). Het bewijs van deze stelling gaat analoog aan dat van vergelijking (28).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... betekenis⁵⁶

Denk bijvoorbeeld aan de relatie tussen een kracht $F$ in de $x$-richting en de potentiële energie $V$: $F = -\frac{dV}{dx}$, oftewel een meetbare grootheid is uitgedrukt als een verschil in energie.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... geheel⁵⁷

Er is een subtiel maar belangrijk verschil: deze uitdrukking geeft niet de energie van een deeltje, maar het kwadraat van de energie; er moet dus nog een wortel worden genomen! Nu heeft een kwadratische vergelijking altijd twee oplossingen: een met een plusteken, en een met een minteken. De laatste oplossing duidt op deeltjes met een negatieve energie, iets wat vergelijking (214) nog niet deed! Het correct interpreteren van deze nieuwe oplossingen leidde Paul Dirac tot het voorspellen van het bestaan van antimaterie.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... nul⁵⁸

Een omgekeerde conclusie kan ook worden getrokken uit vergelijking (214): als een deeltje een massa gelijk aan nul zou hebben maar niet zou bewegen met de lichtsnelheid, zou alleen de teller nul zijn, en daarmee de hele uitdrukking voor de energie. Deeltjes zonder energie bestaan niet (alles heeft energie), en dus volgt nu ook dat als een deeltje geen massa heeft, het noodzakelijkerwijs met de lichtsnelheid moet bewegen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... fotonen⁵⁹

Er zijn nog meer massaloze deeltjes die met de lichtsnelheid bewegen: gluonen en gravitonen. Voor het gemak spreken we alleen over de fotonen, maar impliciet bedoelen we hier alle massaloze deeltjes mee.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... nul⁶⁰

Stel dat voor twee lineaire vergelijkingen geldt $a_1x + a_2y = 0$ en $b_1x + b_2y = 0$. Als we $x$ en $y$ elimineren vinden we de uitdrukking $a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$. In dat geval is het systeem singulier. In de limiet van gelijke punten $\Delta x = \Delta y = 0$ dient te gelden dat $\Delta \xi = \Delta \eta = 0$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...eq:vvx).⁶¹

Het is van belang expliciet te controleren dat $\Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime}$ en $\Lambda_{~\alpha^\prime}^\beta$ elkaars inverse zijn. Dus $\Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} \Lambda_{~\alpha^\prime}^\gamma$ is

$$\left( \begin{array}{cc} {\partial \xi \over \partial x} & {\pa... ...right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) .$$ (244)

Merk op dat een en ander volgt uit de definitie van partiële afgeleide en dat $\xi$ en $\eta$ onafhankelijke variabelen zijn en dus geldt ${\partial \xi \over \partial \eta} = 0$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... worden⁶²

Wellicht dat een andere kijk op deze zaak verhelderend is: we gaan weer uit van vergelijking (251) en omdat $\phi = \phi (\xi , \eta )$ verwacht je voor de afgeleide van $\phi$ langs de raakvector $\vec V$ van de curve

$$\nabla_{\vec V} \phi = V^\alpha {\partial \phi \over \partial x^\alpha}.$$ (246)

Het symbool $\nabla_{\vec V}$ betekent de waarde van de richtingsafgeleide van een scalairveld in de richting gegeven door vector $\vec V$. Dus geldt

$$\nabla_{\vec V} = V^\alpha {\partial \over \partial x^\alpha} =... ...tial x^\alpha} = \left( {{\rm d} \over {\rm d}s} \right)_{\rm langs~de~curve}.$$ (247)

Merk op dat we nu de volgende situatie hebben,

$$\nabla_{\vec V} = V^\alpha {\partial \over \partial x^\alpha} ~~~~{\rm en}~~~~\vec V = V^\alpha \vec e_\alpha ,$$ (248)

en zien dat beide uitdrukkingen dezelfde expansiecoëfficiënten $V^\alpha$ hebben. De eerste vergelijking is voor een richtingsafgeleide en de tweede beschrijft een vector. Er is dus een isomorfisme tussen vectoren en richtingsafgeleiden. We mogen derhalve schrijven

$$\vec V = \nabla_{\vec V} = \partial_{\vec V} = {{\rm d} \mathcal{P} \over {\rm d}s} = {{\rm d} \over {\rm d}s}$$ (249)

en voor de basisvectoren

$$\vec e_\alpha = {\partial \mathcal{P} \over \partial x^\alpha} = {\partial \over \partial x^\alpha} .$$ (250)

Voor een wiskundige is de tangentruimte de ruimte opgespannen door de richtingsafgeleiden op punt $\mathcal{P}$. Deze richtingsafgeleiden hebben dus hun eigen ruimte.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... uitdrukking⁶³

Verwar ${\rm d}r$ en ${\rm d}\theta$ niet met de basis 1-vormen $\tilde {\rm d}r$ en $\tilde {\rm d}\theta$. Het zijn de componenten van ${\rm d}\vec l$ in poolcoördinaten en de `d' betekent `oneindig kleine $\Delta$'.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... genoemd⁶⁴

Ter verheldering bekijken we de covariante afgeleide $\nabla$ weer als een geometrisch object, dit wil zeggen als een apparaat met drie sleuven. Op elk punt $\mathcal{P}$ van ruimtetijd bevindt zich een dergelijk apparaat. De interpretatie is dat $\nabla (\tilde{\sigma} , \vec V( \mathcal{P}), \vec u ) \equiv < \tilde{\sigma} , \nabla_{\vec u} \vec V >$. We stoppen een willekeurige 1-vorm $\tilde{\sigma}$ die in de tangentruimte bestaat op punt $\mathcal{P}$ in de eerste sleuf. In de tweede sleuf stoppen we een vectorveld $\vec V(\mathcal{P})$ dat in de omgeving van $\mathcal{P}$ gedefinieerd is. Tenslotte stoppen we in de derde sleuf een vector $\vec u$ die zich in de tangentruimte van punt $\mathcal{P}$ bevindt. Uit de machine rolt nu een getal dat het inproduct is van de covariante afgeleide $\nabla_{\vec u} \vec V$ van het vectorveld $\vec V$ in de richting $\vec u$ met de 1-vorm $\tilde{\sigma}$. Je kunt $\nabla_{\vec u} \vec V$ zien als de mate van verandering van $\vec V$ langs de vector $\vec u$. Een alternatieve manier om ernaar te kijken is om de eerste sleuf leeg te laten. We krijgen dan een nieuw vectorveld $\nabla(...,\vec V(\mathcal{P}), \vec u) \equiv \nabla_{\vec u} \vec V$ uit het oude vectorveld $\vec V$. We noemen dat de covariante afgeleide van het vectorveld $\vec V$ langs de vector $\vec u$. Tenslotte is er een derde manier om de zaak te bekijken: we laten zowel de eerste als de derde sleuf leeg. We krijgen nu een $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ tensorveld $\nabla (..., \vec V(\mathcal{P}),...) \equiv \nabla \vec V$ uit het originele vectorveld $\vec V$. Dit noemen we de covariante afgeleide of de gradiënt van het vectorveld $\vec V$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... nemen⁶⁵

We kunnen altijd een lokaal lorentzframe construeren, dat voldoende vlak is voor wat wij willen. In dat systeem zijn de basisvectoren constant en hun afgeleiden nul in punt $\mathcal{P}$. Dit is een definitie voor de covariante afgeleide. Deze definitie leidt er onmiddellijk toe dat de christoffelsymbolen gelijk zijn aan nul en dat in het LLF geldt $V_{~;\beta}^\alpha = V_{~,\beta}^\alpha$ op punt $\mathcal{P}$. Dit is natuurlijk waar voor elke tensor en ook voor de metriek, $g_{\alpha \beta ; \gamma} = g_{\alpha \beta , \gamma} = 0$ op punt $\mathcal{P}$. Omdat de vergelijking $g_{\alpha \beta ; \gamma} = 0$ een tensorvergelijking is, is hij geldig in elke basis. Gegeven dat $\Gamma_{~\alpha \beta}^\mu = \Gamma_{~\beta \alpha}^\mu$, vinden we weer dat voor elke metriek dient te gelden

$$\Gamma_{~\mu \nu}^\alpha = {1 \over 2} g^{\alpha \beta} (g_{\beta \mu ;\nu} + g_{\beta \nu ,\mu} - g_{\mu \nu , \beta}).$$ (318)

Dus terwijl $\Gamma_{~\mu \nu}^\alpha =0$ op $\mathcal{P}$ in het LLF, geldt dat niet voor de afgeleiden ervan, want die bevatten $g_{\alpha \beta ,\gamma \mu}$. Dus de christoffelsymbolen zijn dan wel nul op punt $\mathcal{P}$ als we een LLF kiezen, maar verschillen in het algemeen van nul in de omgeving van dit punt. Het verschil tussen een gekromde en een vlakke variëteit manifesteert zich dus in de afgeleiden van de christoffelsymbolen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... coëfficiënten⁶⁶

Deze staan ook bekend als de christoffelsymbolen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... genoemd)⁶⁷

In een coördinatenbasis worden de basisvectoren gegeven door de partiële afgeleiden, $\vec e_\alpha = \partial / \partial x^\alpha$, en omdat partiële afgeleiden commuteren, moet gelden $[\vec e_\alpha , \vec e_\beta ] = 0$. In een niet-coördinatenbasis geldt $[\vec e_\mu , \vec e_\nu ] = C_{\mu \nu}^\alpha \vec e_\alpha$, met $C_{\mu \nu}^\alpha$ de zogenaamde commutatie coëfficiënten. Een coördinatenbasis is handig voor het doen van berekeningen, terwijl een niet-coördinatenbasis nuttig kan zijn voor de interpretatie van gegevens.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... bevat⁶⁸

Behalve intrinsieke kromming kan een variëteit ook een extrinsieke kromming hebben. Neem bijvoorbeeld een blad papier dat geen intrinsieke kromming heeft, en rol het op tot een cilinder. Deze cilinder heeft extrensieke kromming en die beschrijft de inbedding van het vlakke blad papier in de 3D ruimte. De ART zegt niets over de hogere ruimten waarin ruimtetijd kan zijn ingebed. De ART geeft een beschrijving van kromming binnen de variëteit zelf en dat is de intrinsieke kromming van ruimtetijd.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... waarnemer⁶⁹

We gaan er voor het gemak vanuit dat wij als waarnemer niet van invloed zijn op het proces. Het belangrijkste is dat we aannemen dat we geen kracht uitoefenen en geen kromming veroorzaken.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... gebruikt⁷⁰

In het LLF komt $\overrightarrow{d{\mathcal{P}}}$ overeen met $(\Delta \tau , \vec 0)$, waarbij $\Delta \tau$ de eigentijd is, gemeten met een ideale klok. Er geldt dan dat $\overrightarrow{d\mathcal{P}} \cdot \overrightarrow{d\mathcal{P}} = -(\Delta \tau )^2$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... is⁷¹

In dat geval geldt $x^i = a^i \lambda + b^i$ en wordt bijvoorbeeld $\lambda_A = {x_A^i - b^i \over a^i}$. Dan geldt ${dx^i \over d\lambda } = a^i$ waardoor de afgeleide niet meer van $\lambda$ afhangt en buiten de integraal gehaald kan worden. Verder schrijven we $x_A^i = A^i$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.