Witte dwergen, supernovae en neutronensterren

In het voorgaande hebben we diverse verbrandingsprocessen die zich in sterren afspelen beschreven. In deze fusiereacties worden elementen geproduceerd en tegelijkertijd wordt meer en meer kernbrandstof opgebruikt. Wat gebeurt er wanneer er geen brandstof meer is? Volgens de gangbare theorieën kan een ster op vier manieren aan zijn einde komen: het kan een zwart gat, een witte dwerg, of een neutronenster worden, of het kan volledig fragmenteren. Haar uiteindelijke lot wordt bepaald door de beginmassa van de ster. Als deze massa minder is dan ongeveer vier zonnemassa's, dan zal de ster een witte dwerg worden. Als deze massa echter groter is dan ongeveer vier zonnemassa's, kan een supernova ontstaan die resulteert in een neutronenster, een zwart gat of in volledige fragmentatie. Zwarte gaten trekken zich oneindig lang samen en benaderen, maar zullen dit nooit bereiken, een straal van ongeveer 3 km en een dichtheid van meer dan $10^{16}$ g/cm$^3$. Neutronensterren hebben een straal van ongeveer 10 km en een centrale dichtheid die groter is dan die van kernmaterie, ongeveer $10^{14}$ g/cm$^3$. In het volgende bespreken we de formatie en eigenschappen van neutronensterren.

Stel dat het fusieproces ten einde loopt en de ster begint te contraheren onder zijn eigen gravitatie. Volgens het Pauli principe dient een systeem dat $N_e$ elektronen bevat spinparen te vormen met impulsen die minstens $\Delta p_{\rm minimum}$ verschillen. Dit betekent dat in drie dimensies de grootste impuls in elke richting minstens de waarde $N_e^{1 \over 3}\Delta p_{\rm minimum}$ dient te hebben. Merk op dat in deze bespreking we ons niet druk maken over factoren 2 of $\pi$, etc. De minimum impuls kunnen we vinden uit Heisenberg's onzekerheidsrelatie en is geassocieerd met de maximale onzekerheid in de plaats van het deeltje, hetgeen de grootte ($2R$) van de ster is. We vinden hiermee voor de minimum impuls in de $x$-richting $\Delta p_{\rm minimum ~x} = {h \over 2R}$, met $h$ de constante van Planck. We kunnen nu het effect van het Pauli principe in rekening brengen door te vermenigvuldigen met $N_e^{1 \over 3}$ en vinden de minimum waarde die de grootste impuls in de $x$-richting dient te hebben. De drie richtingen combineren om een kinetische energie te leveren van

$$< {\rm K} >_{\rm gemiddeld} = 3{\left( N_e^{1 \over 3}\Delta p_{\rm minimum ~x} \right)^2 \over 2 m_e} = N_e^{2 \over 3}{3h^2 \over 8m_e R^2}$$ (57)

waarbij we de klassieke relatie tussen kinetische energie en impuls gebruikt hebben ( $K = {p^2 \over 2m}$). Deze random kinetische energie leidt direct tot de gasdruk via relatie $PV=NkT$ waarbij we de thermische energie $kT$ vervangen door $kT = {2 \over 3}<{\rm K}>_{\rm gemiddeld}$. We vinden dan

$$P_{\rm Fermi} = {2 \over 3} {N \over V} <{\rm K}>_{\rm gemiddeld} = {h^2 N_e^{5 \over 3} \over 4 m_e VR^2}.$$ (58)

Vervolgens gebruiken we de benadering die een relatie geeft tussen druk, massa en grootte van een ster $P = {3GM^2 \over 4\pi R^4}$ en stellen dit gelijk aan de Fermi gasdruk $P_{\rm Fermi}$. Verder geldt dat $M = N_e \mu \approx 2m_p N_e$ en $V = {4 \over 3} \pi R^3$. We vinden

$$R = N_e^{2 \over 3}{h^2 \over 8 G m_p m_e M},$$ (59)

en als we hiervoor de massa van de zon gebruiken ($M=M_\odot$) vinden we een straal $R = 10^7$ m. Dat is een straal in de orde van de straal van de aarde. Een exacte berekening geeft als uitkomst dat een witte dwerg met een massa van 1 zonnemassa een straal heeft die ongeveer 90 % is van de straal van de aarde.

We kunnen voor een witte dwerg de toestandsvergelijking afleiden door op te merken dat $R \sim V^{1 \over 3}$ en we zien dat de Fermi gasdruk enkel afhangt van de verhouding $N_e /V$, het aantal elektronen per volume eenheid. Deze elektronendichtheid is evenredig met de massadichtheid $\rho = \mu N_e /V$ en we vinden hiermee de Fermi toestandsvergelijking

$$P_{\rm Fermi} = \beta \rho^{5 \over 3},$$ (60)

waarbij de constante $\beta$ afhangt van $h$, $m_e$ en $m_p$. De polytropische index $\gamma = {5 \over 3}$ en dat betekent dat een niet-relativistisch ontaard Fermigas stabiel is onder kleine verstoringen.

Een ster die gedragen wordt door elektron ontaarding wordt een witte dwerg genoemd. Ook de protonen in het plasma van de ster zijn onderhevig aan de onzekerheidsrelatie en het Pauli principe. Derhalve vormen de protonen ook een ontaard gas en leveren ze een bijdrage tot de gasdruk van de ster. Omdat de kinetische energie gegeven wordt door ${1 \over 2}mv^2 = {p^2 \over 2m}$ leveren protonen bij dezelfde waarde van impuls een beduidend kleinere bijdrage tot de kinetische energie en daarmee de gasdruk (het schaalt omgekeerd evenredig met de massa). Witte dwergen worden waargenomen door sterrenkundigen en komen relatief veel voor: typisch 1 op de 10 sterren is een witte dwerg.

Als een ster massief is, dan worden de elektronen in een klein volume gedwongen door de gravitatiekracht. Hierdoor wordt hun typische snelheid groot, in de orde van de lichtsnelheid. Om te begrijpen wat er dan fysisch gebeurt, dienen we een relativistisch ontaard elektronengas te beschouwen. We nemen hierbij aan dat de elektronen een gas vormen van ultra-relativistische vrije fermionen, die zich in een volume $V$ bevinden. Alle beschikbare toestanden zijn bezet tot de Fermi energie $E_F$. Dit ontaarde elektronengas levert de druk die in evenwicht is met de gravitationele aantrekking. Voor ultra-relativistische deeltjes wordt het verband tussen energie en impuls gegeven door $E = \vert \vec p \vert c$. Analoog aan vergelijking (61) wordt de druk voor een ontaard relativistisch elektrongas gegeven door

$$P={hcN_e^{4 \over 3} \over 3RV}.$$ (61)

Als we dit weer gelijkstellen aan ${3GM^2 \over 4\pi R^4}$ en het volume vervangen door ${4 \over 3}\pi R^3$ krijgen we

$${hcN_e^{4 \over 3} \over 4\pi R^4} = {3GM^2 \over 4\pi R^4}.$$ (62)

In bovenstaande vergelijking gebeurt er iets verrassends, want de straal van de ster valt uit de vergelijking. Wat we overhouden is een uitdrukking voor de massa. Klaarblijkelijk heeft een relativistische witte dwerg een unieke massa. Deze massa noemen we de Chandrasekhar massa²⁴ en deze wordt gegeven door

$$M_{\rm Ch} = \left( {hc \over 3G} \right)^{3 \over 2} \left( {1... ...1 \over 3^{3 \over 2}} {m_{\rm Pl}^3 \over m_p^2} \right) \approx 1,4 M_\odot .$$ (63)

In de laatste stap hebben we $\mu = m_p$ genomen, terwijl $m_{\rm Pl}$ de zogenaamde Planck massa is, die wordt gegeven door $m_{\rm Pl} = \left( {hc \over G} \right)^{1 \over 2} = 5,5 \times 10^{-8}$ kg.

Figuur 14: Relatie tussen straal en massa voor een witte dwerg voor een (niet-)relativistisch elektrongas. In de limiet van een ultra-relativistisch elektrongas wordt de Chandrasekhar limiet bereikt.

Uit vergelijking (64) kunnen we de toestandsvergelijking van een ultra-relativistische witte dwerg vinden. Omdat $R \sim V^{1 \over 3}$ zien we dat

$$P = \beta \rho^{4 \over 3}$$ (64)

Zoals we besproken hebben in vergelijking (59) is een index $\gamma = {4 \over 3}$ slechts marginaal stabiel voor gravitationele ineenstorting. Elke kleine correctie op de eigenschappen van een ultra-relativistische witte dwerg kan instabiliteit tot gevolg hebben.

Men neemt aan dat neutronensterren zich ontwikkelen uit de gravitationele samenstorting van sterren die massiever zijn dan ongeveer acht zonnemassa's. Tegen het einde van de diverse stadia van kernverbranding heeft de temperatuur een waarde van ongeveer $8 \times 10^9$ K bereikt in een centrale, voornamelijk uit ijzer bestaande, kern ter grootte van ongeveer 1,5 zonnemassa. Het element $^{56}$Fe heeft de meest stabiele kern bij lage temperatuur en druk. Bij de druk, dichtheid en temperatuur van de centrale kern zullen de atomen volledig geïoniseerd zijn, waarbij de vrije elektronen een ontaard gas vormen. Het gedrag van deze elektronen bepaalt de verdere evolutie van de ster.

De ultra-relativistische witte dwerg is niet stabiel voor gravitationele ineenstorting. De sterkern verliest elektronen vanwege elektronvangst²⁵ door het ijzer, waarbij neutrino's worden uitgezonden. Als elektronen niet langer weerstand kunnen bieden aan de massa van de kern, stort de ster in. De gravitationele energie die hierbij vrijkomt wordt in warmte en kinetische energie omgezet. Kernen gaan hierbij over tot een gas van nucleonen en de dichtheid van de kern van de ster neemt toe tot waarden die ongeveer twee keer zo groot zijn als die van kernmaterie. Op dit punt aangenomen, stopt de compressie omdat het nucleongas nu de druk levert die nodig is om verdere ineenstorting te voorkomen. In het geval van niet al te grote massieve sterren, stuitert de kern wat op en neer als de compressie stopt, waardoor uitgaande drukgolven ontstaan die resulteren in een schokgolf. Deze schokgolf zal de mantel van de ster doen scheuren waardoor er een explosie volgt. Op deze wijze wordt een type II supernova geboren. De energie van de ineengestorte kern, ongeveer $3 \times 10^{46}$ J, wordt in een tijdspanne van ongeveer 10 s uitgezonden in de vorm van neutrino's, waarbij er een neutronenster resteert. De neutrino's van SN1987a zijn op aarde waargenomen door het Superkamiokande en IMB experiment, waarbij de energie- en tijdverdeling van deze neutrino's gemeten is.

Neutrino emissie is een efficiënt koelproces voor de resterende neutronenster. De ster koelt al fors binnen een paar seconden en heeft na een paar dagen een interne temperatuur van ongeveer $10^{10}$ K bereikt. Deze interne temperatuur blijft zeker boven de $10^9$ K gedurende de eerste duizend jaar, met neutrino emissie als het belangrijkste koelproces. Daarna wordt foton-emissie het dominante koelproces en bereikt de neutronenster een temperatuur van ongeveer $10^8$ K.

Figuur 15: Doorsnede van een typische neutronenster. De hadronische kern kan quarkmaterie of een pion-condensaat bevatten.

Fig. 15 toont een doorsnede van een typische neutronenster. Hierbij zijn de volgende vragen relevant: Hoe heeft de ster deze eindtoestand bereikt? Waarom stort de ster niet volledig in? Veel vakgebieden zijn betrokken bij een formulering van antwoorden op deze vragen: relativiteitstheorie, quantummechanica, kern- en deeltjesfysica en vastestof fysica. In het volgende bespreken we een aantal subatomaire fysica aspecten.

We beschouwen als eerste de dichtheid en samenstelling van de ster. Voor een gegeven massa van de neutronenster, kunnen we de straal en dichtheidsverdeling uitrekenen²⁶. Voor een ster met een straal van 10 km is de centrale dichtheid ongeveer $10^{14} - 10^{15}$ g/cm$^3$. De dichtheid neemt toe van nul, aan de top van de `atmosfeer', tot een waarde die groter is dan die van kernmaterie in het centrum. Uit de dichtheid kunnen we de samenstelling op een gegeven diepte afleiden. De buitenste laag bestaat voornamelijk uit $^{56}$Fe, het eindresultaat van het proces van kernverbranding. De dichtheid neemt toe als we in de richting van het centrum van de ster gaan en de Fermi energie wordt dusdanig groot, dat elektronvangst kan optreden, net zoals dat het geval was bij het ontstaan van een neutronenster in de pre-supernova fase. Bij deze hogere temperatuur worden meer neutronen-rijke isotopen gevormd. Elektronvangst blijft toenemen en bij een dichtheid van ongeveer $4 \times 10^{11}$ g/cm$^3$ zullen kernen met 82 neutronen, zoals $^{118}$Kr, het meest stabiel zijn. Merk op dat gewoon krypton op aarde een atoomgetal $A = 84$ heeft. De meest stabiele nucleïden bij dergelijke hoge drukken zijn dus zeer neutronen-rijk. Onder normale toestanden zouden dergelijke kernen direct vervallen door elektron-emissie. Echter bij drukken die heersen in een neutronenster, zijn alle beschikbare toestanden reeds door elektronen bezet en verbiedt het Pauli principe een dergelijk beta-verval.

Het buitenste neutron van $^{118}$Kr is nauwelijks gebonden. Als de dichtheid groter wordt dan $4 \times 10^{11}$ g/cm$^3$, beginnen de neutronen uit de kernen te lekken en ontstaat er een ontaarde vloeistof. Als de druk verder toeneemt, zullen de kernen in deze zogenaamde `neutron drip line' meer en meer neutronen-rijk worden en in grootte groeien. Bij een dichtheid van ongeveer $2.5 \times 10^{14}$ g/cm$^3$, beginnen de kernen elkaar te raken en gaan ze in elkaar over om een continue vloeistof van neutronen, protonen en elektronen te vormen. Neutronen zijn hierbij in de meerderheid en de fractie protonen wordt geraamd op ongeveer 4 % van alle materie. De neutronen kunnen niet vervallen in protonen, omdat de energie van het vrijkomende elektron kleiner zou zijn dan de Fermi energie van het elektrongas. Het verval is derhalve verboden door het Pauli principe.

Als de energie nog groter wordt, is het energetisch mogelijk om via elektronvangst meer massieve elementaire deeltjes te vormen, zoals bijvoorbeeld

$$e^- n \rightarrow \nu ~ \Sigma^- ,$$ (65)

waarbij dergelijke deeltjes weer stabiel zijn vanwege het Pauli principe. Fig. 16 toont resultaten van een berekening²⁷ van de samenstelling van een neutronenster als functie van de dichtheid.

Figuur 16: Aantal materiedeeltjes als functie van de dichtheid. Het `neutron drip regime', waarbij neutronen uit kernen lekken, begint bij $4 \times 10^{11}$ g/cm$^3$. Bij een dichtheid van ongeveer $2,5 \times 10^{14}$ g/cm$^3$ beginnen de kernen op te lossen. Bij hogere dichtheden kunnen muonen en vreemde deeltjes ontstaan.

Als we onze aandacht nog een keer richten op de druk in een neutronenster, dan hebben we reeds gezien dat het ontaarde elektronengas bij relatief lage drukken, de tegendruk levert die ineenstorting van de ster voorkomt. Bij hogere drukken wordt volledige ineenstorting voorkomen door een combinatie van twee effecten, de afstotende kracht in de nucleon-nucleon interactie en de energie ontaardheid van de neutronen. Fig. 16 toont dat neutronen domineren bij de hoogste drukken. Ze vormen een ontaard Fermigas en we kunnen de argumenten die geleid hebben tot vergelijking (62) herhalen voor het niet-relativistische geval. We vervangen in vergelijking (62) $m_e$ door $m_n$ en stellen $\mu = m_p$ (dus vermenigvuldigen met een factor 2). Dit betekent dat de straal van een neutronenster ongeveer 600 keer kleiner is dan die van een witte dwerg, of wel ongeveer 17 km. We vinden dan weer dat de druk toeneemt met afnemend volume totdat het, samen met de harde-pit repulsie van de NN-kracht, in evenwicht is met de gravitationele aantrekking.

Het bestaan van neutronensterren is reeds in de jaren dertig van de vorige eeuw voorspeld. Hun ontdekking kwam onverwacht in 1967 toen een nieuwe klasse hemellichamen werd waargenomen. Deze objecten zijn puntvormig, staan buiten ons zonnestelsel en zenden periodieke radiogolven uit. Ze werden pulsars genoemd en op dit moment zijn er meer dan 1000 bekend. Hun periode varieert van ongeveer 1,5 ms tot 4 s. In 1968 suggereerde Gold²⁸ dat een pulsar een neutronenster is. De periode van de pulsar wordt geassocieerd met de rotatiefrequentie van de neutronenster. De frequentie neemt geleidelijk af vanwege het verlies aan rotatie energie. Dit energieverlies is aanzienlijk, zo is het verlies van rotatie energie van de Krabpulsar ongeveer even groot als de totale energie uitgezonden door deze nevel. De neutronenster is dus de energiebron van de enorme Krabnevel.

Men heeft pulsars niet alleen waargenomen als radiosterren, maar ook is periodieke emissie van licht gemeten. De perioden, de vertragingssnelheden, en de plotselinge veranderingen van de perioden zijn zorgvuldig bestudeerd. Hiermee zijn diverse eigenschappen van neutronensterren vastgesteld en weten we meer van het gedrag van kernmaterie bij dichtheden groter dan $10^{15}$ g/cm$^3$.