Standaard zonnemodel

Het standaard zonnemodel (standard solar model - SSM) is een van de meest complete en succesvolle theorieën van de moderne sterrenkunde. We zullen de basisgedachten achter dit model en de consequenties ervan kort bespreken. Het SSM is gebaseerd op vier aannamen:

• De zon is sferisch symmetrisch.
• De zon is in hydrostatisch evenwicht.
• Energie wordt overgebracht door straling en convectie alsook door neutrino's.
• Fusie van waterstof in helium is de energiebron.

De centripetale versnelling op de equator van de zon is $5 \times 10^{-3}$ m/s$^2$ en dat is verwaarloosbaar ten opzichte van haar gravitatie van 274 m/s$^2$. Sferische symmetrie is dus een goede aanname en we mogen toestandvariabelen, zoals temperatuur en druk, schrijven als functie van de afstand tot het centrum van de zon, bijvoorbeeld $T(r)$ en $P(r)$. Indien de lokale compositie (voornamelijk waterstof en helium) bekend is, dan geven deze twee grootheden ook de dichtheid. Als we aannemen dat de gasdruk²² dominant is over de stralingsdruk dan kunnen we deze laatste verwaarlozen. Er geldt $P_{\rm gas} = {\rho kT \over \mu}$ en $P_{\rm straling} = {4 \sigma T^4 \over 3c}$, met $\rho$ de dichtheid, $\mu$ de deeltjesmassa ( $3,345 \times 10^{-27}$ kg voor waterstofmoleculen), $\sigma$ de Stefan-Boltzmann constante en $c$ de lichtsnelheid. Diep in de zon bedraagt de dichtheid $\rho \sim 10^4$ kg/m$^3$ en temperatuur $T \sim 10^7$ K en onder deze condities vinden we $P_{\rm gas} \sim 1,4 \times 10^{15}$ en $P_{\rm straling} \sim 2,5 \times 10^{12}$ N/m$^2$. We zien dat de stralingsdruk inderdaad verwaarloosbaar is²³.

Figuur 12: In de zon is er evenwicht tussen gravitatie en de gasdruk ten gevolge van de energie opgewekt door kernfusie. Rechts: op een schil met oppervlak $A$ en dikte $h$ is er hydrostatisch evenwicht tussen de krachten.

We stellen ons voor dat de zon is opgebouwd uit sferische schillen. Op de bodem van een volume element werkt een kracht ter grootte $F_{\rm bodem} = P(r)A$, terwijl op de top een kracht werkt ter grootte $F_{\rm top} = -(P+\Delta P)A$. Het minteken geeft aan dat de kracht naar het centrum van de zon wijst. Verder werkt er nog de gravitatie op de massa van het volume element. Het gewicht is gelijk aan $F_{\rm gravitatie} = -\Delta mg$, met $\Delta m$ de massa van het element en $g$ de lokale gravitatie versnelling. We vinden $F_{\rm gravitatie} = -\rho Ah g$. De lokale gravitatie wordt gegeven door $g = {GM_I \over r^2}$, waarbij $M_I$ de totale massa binnen de bol is die begrensd wordt door de sferische schil. Deze krachten zijn in hydrostatisch evenwicht, $P(r)A -(P+\Delta P)A -\rho Ah {GM_I \over r^2} = 0$, en er geldt voor een dunne sferische schil (met $\Delta P \rightarrow dP$ en $\Delta r = h \rightarrow dr$)

$$P - (P+dP) - {GM_I \rho dr \over r^2} = 0 ~~~~\rightarrow ~~~~ {dP \over dr} = -{GM_I\rho \over r^2} = -{GM_I P \mu \over kT r^2}.$$ (50)

Als randvoorwaarde hebben we dat de druk nul moet zijn aan de rand van de ster, waar $\rho \sim 0$. De massa binnen de bol bedraagt $M_I$ en de sferische schil levert een bijdrage

$$dM_I = 4\pi r^2 \rho dr = {4\pi r^2 P\mu \over kT}dr ~~~~\rightarrow~~~~ {dM_I \over dr} = {4\pi r^2 P\mu \over kT}.$$ (51)

Hier geldt de randvoorwaarde dat $M_I = 0$ als $r=0$. Verder geldt dat $M_I=M_\odot$ als $r=R_\odot$, de straal van de ster.

In de evenwichttoestand is de energie binnen het volume element, tussen $r$ en $r+dr$ constant. De stralingsflux door het buiten oppervlak is dan gelijk aan de som van de flux door het binnen oppervlak en het vermogen dat binnen de sferische schil wordt gegenereerd. Dit geeft

$$L+dL = L+4\pi r^2\epsilon \rho dr ~~~~\rightarrow~~~~ {dL \over dr} = 4\pi r^2 \epsilon \rho = {4\pi r^2 P \mu \epsilon \over kT},$$ (52)

met $L$ de luminositeit ofwel de flux van uitgestraalde energie per tijdseenheid, en $\epsilon$ de functie van intrinsieke energie generatie (in W/kg). Bij een hogere temperature zal er meer energie in de ster worden gegenereerd. Als randvoorwaarden gebruiken we $L=0$ als $r=0$, terwijl voor $r=R_\odot$ we de luminositeit $L=L_\odot$ van de zon dienen te vinden.

Tenslotte stellen we een vergelijking op voor de temperatuurverdeling van de zon. Hiertoe beschouwen we de intensiteit (J/(m$^2$s)) door een sferische schil. Straling passeert deze schil, terwijl er ook straling door kernfusie in de schil kan worden gegenereerd. Als de gemiddelde intensiteit van de straling binnen de schil gelijk is aan $I$, dan is de energie die geabsorbeerd wordt per tijdseenheid voor straling die de schil passeert gelijk aan $-I\kappa \rho dr$, met $\kappa$ de opaciteit gedefinieerd als $\kappa = {\zeta \over \rho}$, met $\zeta$ de lineaire absorptie coëfficiënt. De geabsorbeerde intensiteit bedraagt $dI=-\zeta I dr = -\kappa \rho I dr$. De intensiteit van de straling die de schil passeert is gerelateerd aan de lokale luminositeit volgens $I = {L \over 4\pi r^2}$. Vanwege de relatie tussen energie ($E$) en impuls ($p$ voor straling geldt $E=pc$, kunnen we de impulsverandering per tijdseenheid van de straling tussen binnen en buiten oppervlak schrijven als

$$dp = -{I\kappa \rho \over c} dr= - {L\kappa \rho \over 4 \pi r^2c}dr.$$ (53)

De impulsverandering in een sectie met eenheidsoppervlak vertegenwoordigt een krachtverschil per eenheid van oppervlakte, of stralingsdruk tussen en binnen en buiten oppervlak van het element. Er geldt

$${dP_{\rm straling} \over dr} = -{L\kappa \rho \over 4 \pi r^2 c}.$$ (54)

Omdat de stralingsdruk gegeven wordt door $P_{\rm straling} = {4 \sigma T^4 \over 3c}$, kunnen we dit differentiëren naar $r$ en in bovenstaande vergelijking invullen. We vinden dan

$${dP_{\rm straling} \over dr} = {16 \sigma T^3 \over 3c}{dT \over ... ...rightarrow ~~~~ {dT \over dr} = -{3L \kappa \rho \over 64 \pi \sigma T^3 r^2}.$$ (55)

Voor de temperatuur nemen we als randvoorwaarde $T = T_{\rm oppervlak}$ als $r=R_\odot$. Dat is de conventionele temperatuur van een ster, die men kan waarnemen; het is de temperatuur van de fotosfeer, de zichtbare buitenkant van de ster.

Figuur 13: Resultaten van het standaard model voor de zon. Boven: temperatuur en dichtheidsverdeling; onder: massafracties van diverse elementen.

Bovenstaande differentiaalvergelijkigen kunnen iteratief worden opgelost en Fig. 13 geeft de berekende temperatuur en dichtheidsverdeling in de zon. We zien dat in het centrum van de zon een temperatuur van 16 miljoen graden wordt bereikt.

We kunnen een gevoel krijgen voor het verband tussen massa ($M$), grootte ($R$) en de druk ($P_C$) in het binnenste van de ster. Hiervoor gebruiken we vergelijking (53) om bij grove benadering de druk in de ster (in één stap met $dr \rightarrow R$ en $M_I \rightarrow M$) te schrijven als ${dP \over dr} = -{GM_I\rho \over r^2} ~~\rightarrow ~~ P_C \approx {GM \rho_C \over R}$. We benaderen de massa met $M \approx {4 \over 3}\pi R^3 \rho_C$. Combineren levert $P_C \approx {GM^2 \over 4\pi R^4}$. Op dezelfde wijze vinden we dat de centrale temperature schaalt als $T_C \sim {M \over R}$.

Als we sterren met globaal dezelfde massa $M$ beschouwen, dan geldt $M \sim \rho_C R^3 = {\rm constant}$. Omdat dus geldt dat $R \sim \rho_C^{-{1 \over 3}}$, vinden we de toestandsvergelijking voor de centrale druk

$$P_C \sim \rho_C^{4 \over 3}.$$ (56)

Dit is de toestandsvergelijking voor een ster waarbij de druk precies in balans is met de gravitatie. Toestandsvergelijking van de vorm $P \sim \rho^\gamma$ worden polytropische toestandsvergelijkingen genoemd. Als de polytropische index $\gamma$ groter is dan $4/3$ dan neemt de druk sneller toe bij compressie en stoot de ster terug, de ster is stabiel. Toestandsvergelijkingen met $\gamma < 4/3$ zijn niet stabiel.