Galileo Galileï en het relativiteitsprincipe

Stel u voor dat u een blok ijs op een glazen plaat gooit: het glijdt en komt uiteindelijk tot stilstand. Maak de plaat nat en het blok zal een grotere weg afleggen, alvorens tot stilstand te komen. Neem een blok droogijs (dat is bevroren koostofdioxide) dat glijdt over een luchtkussen van koolstofdioxidedamp en neem waar dat dit blok veel verder zal glijden zonder noemenswaardige vermindering van snelheid. Voor de komst van Galileo Galileï (1564 - 1642) dacht men dat er altijd een kracht nodig is om een object met constante snelheid te laten bewegen. Galileï zag in dat de snelheidsvermindering veroorzaakt wordt door wrijvingskrachten. Als men de wrijving vermindert, dan vermindert ook de snelheidsafname. Galileï redeneerde dat als men alle krachten van een object kan verwijderen, inclusief wrijvingskrachten, de snelheid van een lichaam nooit zal veranderen. Deze eigenschap noemde hij inertia.

Uit het bovenstaande volgt dat we geen verschil kunnen maken tussen een object in rust of een object dat met constante snelheid beweegt. Of een object in rust blijft of met constante snelheid beweegt hangt af van het coördinatenstelsel (referentiesysteem) waarin het object wordt beschouwd. Stel u voor dat u een reiziger bent in een trein die met constante snelheid langs een rechte lijn beweegt en u plaatst een biljartbal op het tafeltje voor u (nodeloos te zeggen dat we aannemen dat deze tafel perfect horizontaal is ...). Relatief ten opzichte van de trein is de bal in rust, zolang de trein met constante snelheid ten opzichte van het perron beweegt. Relatief ten opzichte van het perron beweegt de bal met dezelfde snelheid als de trein.

Vervolgens begint de machinist met afremmen omdat het volgende station in aantocht is. De trein versnelt ten opzichte van het perron (het is een negatieve versnelling, een vertraging) en u zult zien dat de bal op uw tafeltje naar voren begint te rollen. De bal versnelt ten opzichte van de trein ondanks het feit dat er geen kracht op werkt! Een referentiesysteem dat versnelt ten opzichte van een inertiaal referentiesysteem is geen inertiaal referentiesysteem. Als er geen krachten werken op een object (in ons geval de biljartbal), dan is elk referentiesysteem ten opzichte waarvan de versnelling van het object gelijk is aan nul een inertiaal referentiesysteem. Zowel de trein, zolang die met constante snelheid beweegt, als het perron zijn, in goede benadering, inertiaalsystemen².

Toen Galileo Galileï leefde was er om voor de hand liggende redenen, grote belangstelling voor de banen van kanonskogels. Galileï bestudeerde dergelijke banen en ontdekte dat

• de mate waarin een voorwerp valt (versnelling) niet afhangt van de massa van het object, en dat
• de mate waarin een voorwerp valt, de versnelling van een voorwerp tijdens de val, constant is, dus onafhankelijk van de tijd. We noemen deze constante de gravitatieversnelling en deze bedraagt $g=9,8$ m/s$^2$.

Een grote en een kleine kanonskogel vallen derhalve op dezelfde manier en zelfs ook een kanonskogel en een veertje mits men er voor zorgt dat luchtweerstand geen rol speelt. Gewicht heeft er niets mee te maken³ en we kunnen dit bewijzen door experimenten uit te voeren^{4 5}. Dit is de eerste stap richting het equivalentieprincipe dat stelt dat gravitatie niet onderscheidbaar is van uniforme versnelling.

Wij beschouwen een vrij-vallend voorwerp in één dimensie: de vertikale ($y$) richting. De waarde $y$ neemt toe met afnemende afstand tot het middelpunt van de aarde. Als we een voorwerp laten vallen dan is de versnelling constant en geldt $a = g = 9,8$ m/s$^2$. Omdat $a = {dv \over dt}$ vinden we nu de snelheid door integratie. Er geldt $v = \int_0^t adt =v_0 +gt$, waarbij $v_0$ de initiële snelheid op $t=0$ is. Verder neemt de snelheid lineair in de tijd toe. De afgelegde weg vinden we door nogmaals te integreren. Er geldt $d(t) = \int_o^t vdt = \int_0^t (v_0 +gt) dt = d_0 + v_0t + {1 \over 2}gt^2$, waarbij $d_0$ de afstand is die het voorwerp reeds afgelegd had vóór tijdstip $t=0$. We zien dat de afgelegde weg kwadratisch toeneemt in de tijd.

Vervolgens beschouwen we de beweging van een voorwerp in twee dimensies. Hiertoe analyseren we de beweging van een kanonskogel die afgevuurd wordt op tijdstip $t=0$ met een beginsnelheid $u$ onder een hoek $\theta$ met de $x$-as. De situatie is geschetst in Fig. 1.

Figuur 1: Baan van een kanonskogel die afgevuurd wordt op tijdstip $t=0$ met een beginsnelheid $u$ onder een hoek $\theta$ met de $x$-as. De rechterfiguur laat zien dat de verticale beweging onafhankelijk van de horizontale beweging beschouwd kan worden.

Voor de initiële snelheid geldt $u_x=u\cos{\theta}$ en $u_y=u\sin{\theta}$. De snelheid in de vertical richting wordt gegeven door

$$v_y = u_y-gt ~~~~\rightarrow ~~~~ y = u_yt - {1 \over 2} gt^2 .$$ (4)

De kanonskogel raakt de grond als $y=0$ en oplossen van bovenstaande vergelijking levert een vluchttijd $T = {2u_y \over g}$.

In de horizontale richting werkt er geen versnelling en wordt de $x$-positie gegeven door

$$x = u_xt .$$ (5)

We kunnen vergelijking (4) en (5) samennemen en hieruit $t$ elimineren. We vinden dan de baan van de kogel,

$$y={u_y \over u_x}x - {g \over 2u_x^2}x^2,$$ (6)

en zien dat de kogel een parabolische baan heeft.

Het idee dat we de beweging in horizontale en verticale richting mogen ontkoppelen en zelfstandig behandelen is van Galileï. Het is een eerste versie van het relativiteitsprincipe. Toen Nicolas Copernicus (1473 - 1543) stelde dat de aarde en andere planeten rond de zon bewegen, was het moeilijk te begrijpen waarom we deze beweging niet voelen? Waarom vliegen we niet van de aarde af, of blijft de atmosfeer achter als de aarde met grote snelheid rond de zon raast. Galileï gebruikte de onafhankelijkheid van verschillende bewegingen om dit te verklaren. Net zoals voorwerpen die binnen een trein verticaal vallen en het niet uitmaakt of de trein stilstaat of met constante snelheid beweegt, zo merken wij ook niet dat de aarde met grote snelheid door het universum vliegt. Tegenwoordig stellen we dat alle natuurwetten hetzelfde zijn voor een waarnemer die met uniforme snelheid in een rechte lijn beweegt als die voor een waarnemer in rust. We noemen dit het relativiteitsprincipe.