Newtoniaanse beschrijving van getijdenkrachten

We proberen een maat te vinden voor de kromming van ruimtetijd. Hiertoe laten we een testdeeltje vrij vallen. Wij besluiten als waarnemer⁶⁹ om met dit deeltje mee te vallen (LLF) en zien dat het deeltje langs een rechte lijn in ruimtetijd beweegt (enkel in de tijdrichting). Er is niets in de beweging van een enkel deeltje dat kromming verraadt. Met name in het vrij vallende coördinatenstelsel blijft het deeltje in rust. Eén deeltje is onvoldoende om de effecten van kromming te ontdekken.

Vervolgens laten we twee deeltjes vallen. We gaan de getijdenkracht op aarde bekijken vanuit het perspectief van waarnemers die vrijvallen (LLF) samen met de deeltjes. Dergelijke waarnemers vallen in een rechte lijn naar het centrum van de aarde. Fig. 49 geeft de situatie voor twee vrij vallende deeltjes $P$ en $Q$, en we zien dat beide deeltjes paden volgen die leiden naar het centrum van de aarde.

Figuur 49: Links: twee vrij vallende deeltjes bewegen op initieel parallel paden naar het centrum van de aarde. Daar ligt het snijpunt van beide lijnen; rechts: lijnen op het aardoppervlak die initieel parallel zijn bij de evenaar, snijden elkaar bij de noordpool.

Vanuit het perspectief van een waarnemer die in vrije val is met deze deeltjes, zien we dat de deeltjes naar elkaar toe bewegen. Dit wordt veroorzaakt door de differentiële gravitatieversnelling op de deeltjes en we noemen dit getijdenkrachten. Volgens Newton kruisen de paden ten gevolge van gravitatie, terwijl dit volgens Einstein gebeurt omdat ruimtetijd gekromd is. Wat Newton gravitatie noemt, wordt door Einstein kromming van ruimtetijd genoemd. Gravitatie is een eigenschap van de kromming van ruimtetijd.

Figuur 50: De banen van twee vrijvallende deeltjes in een gravitatieveld $\Phi$. De drievector $\vec \xi$ meet de afstand tussen de twee deeltjes en is een functie van de tijd.

We willen nu een wiskundige beschrijving geven van dit proces, die in overeenstemming is met de wetten van Newton (zie ook hoofdstuk 2.6). Hiertoe beschouwen we Fig. 50. De newtoniaanse bewegingsvergelijkingen voor deeltjes $P$ en $Q$ zijn

$$\left( {d^2 x_j \over dt^2} \right)_{(P)} = - \left( {\partial \P... ...t^2} \right)_{(Q)} = - \left( {\partial \Phi \over \partial x^j} \right)_{(Q)},$$ (342)

met $\Phi$ de gravitationele potentiaal. We definiëren $\vec \xi$ als de afstand tussen beide deeltjes. Voor parallelle banen zou gelden ${d\vec \xi \over dt} = 0$. Met $\vec \xi = \left( x_j \right)_{(P)} - \left( x_j \right)_{(Q)}$ vinden we via een Taylorexpansie

$${d^2 \xi_j \over dt^2} = -\left( {\partial^2 \Phi \over \partial ... ...l{E}_{jk} = \left( {\partial^2 \Phi \over \partial x^j \partial x^k} \right) ,$$ (343)

met ${\bf E}$ de gravitationele getijdentensor. Merk op dat de metriek voor de 3D euclidische ruimte gegeven wordt door $\delta_{jk} = {\rm diag}(1,1,1)$ en dat er dus geen verschil is tussen boven- en benedenindices. Vergelijking (349) wordt de vergelijking van newtoniaanse geodetische deviatie genoemd.

Volgens Newton bewegen de deeltjes naar elkaar toe en schrijven we

$${d\vec \xi^2 \over dt^2} = - {\bf E}(\_,\vec \xi )$$ (344)

in abstracte notatie. Het is interessant dat de veldvergelijking van newtoniaanse gravitatie, vergelijking (18),

$$\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho ,$$ (345)

kan worden uitgedrukt in termen van tweede afgeleiden van $\Phi$, die de getijden versnellingen in vergelijking (349) beschrijven. Er is een analoge connectie in de ART.