De algemene relativiteitstheorie

Ruimtetijd is een variëteit die continu en differentieerbaar is. Dat betekent dat we bijvoorbeeld een scalairveld kunnen definiëren, waarvan dan op elk punt de afgeleiden bepaald kunnen worden. Het betekent ook dat we 1-vormen en vectoren kunnen definiëren en op een bepaald punt $\mathcal{P}$ van de variëteit zijn de elementen van de verzameling $\{ \phi_{,\alpha} \}$ de componenten van de 1-vorm. Elke verzameling van de vorm $\{ a\phi_{,\alpha} +b\psi_{,\alpha} \}$, met $a$ en $b$ functies, is ook een 1-vorm. Elke curve (met parameter $\lambda$) heeft een raakvector $\vec V$ en dat is een lineaire functie die een 1-vorm $\tilde{\rm d}\phi$ als argument neemt en de afgeleide van $\phi$ langs de curve produceert,

$$< \tilde{\rm d}\phi , \vec V > = \vec V( \tilde{\rm d}\phi ) = {{\rm d} \phi \over {\rm d} \lambda} .$$ (300)

Elke lineaire combinatie van vectoren is ook weer een vector. Gebruikmakend van de op deze manier gedefinieerde vectoren en 1-vormen, kunnen we een hele verzameling tensoren van het type $\left( \begin{array}{c} M \\ N \\ \end{array} \right)$ opbouwen. Omdat we nog geen $\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$ tensor gekozen hebben om dienst te doen als metriek, is er nog geen correspondentie tussen 1-vormen en vectoren. We zeggen dat de verzameling van alle tensoren deel uitmaakt van de differentiaalstructuur van de variëteit.

Voordat we verder gaan, vatten we de regels van tensoralgebra nog eens samen.

1. Een tensorveld definieert een tensor op elk punt $\mathcal{P}$ van de variëteit.
2. Vectoren en 1-vormen zijn lineaire operatoren op elkaar en produceren reële getallen. Lineair betekent dat $< \tilde{p}, a\vec V + b\vec W > = a< \tilde{p} , \vec V> + b< \tilde{p} , \vec W >$, en $< a \tilde{p} + b\tilde{q} , \vec V > = a<\tilde{p} , \vec V> + b< \tilde{q}, \vec V > + b<\tilde{q} , \vec V >$, met $a$ en $b$ willekeurige scalaire velden.
3. Tensoren zijn op dezelfde manier lineaire operatoren op 1-vormen en vectoren, en produceren reële getallen.
4. Als twee tensoren van hetzelfde type dezelfde componenten hebben op een gegeven basis, dan hebben ze dezelfde componenten op alle bases en zeggen we dat ze identiek zijn. In het bijzonder, als de componenten van een tensor voor een bepaalde basis nul zijn, dan is de tensor gelijk aan nul.
5. Er is een aantal toegestane operaties met componenten van tensorvelden. Dergelijke operaties produceren nieuwe tensoren.
   1. Vermenigvuldigen met een scalairveld produceert een tensor van hetzelfde type.
   2. Optellen van de componenten van twee tensoren van hetzelfde type geeft de componenten van een nieuwe tensor van hetzelfde type. Enkel tensoren van hetzelfde type kunnen gelijk zijn aan elkaar.
   3. Vermenigvuldigen van componenten van twee tensoren van willekeurig type geeft componenten van een nieuwe tensor die de som is van de typen, het tensorproduct van de twee tensoren.
   4. De covariante afgeleide van de componenten van een tensor van type $\left( \begin{array}{c} N \\ M \\ \end{array} \right)$ geeft de componenten van een tensor van het type $\left( \begin{array}{c} N \\ M + 1 \\ \end{array} \right) .$
   5. Contractie van een paar indices van de componenten van een tensor van het type $\left( \begin{array}{c} N \\ M \\ \end{array} \right)$ produceert componenten van een tensor van het type $\left( \begin{array}{c} N-1 \\ M-1 \\ \end{array} \right) .$ Contractie is enkel gedefinieerd tussen boven en beneden indices.
6. Als een vergelijking gevormd wordt door het combineren van componenten van tensoren, terwijl we enkel gebruik maken van toegestane tensorbewerkingen, en als deze vergelijking geldig is in één basis, dan is hij geldig in alle bases.