De zwakke-veld limiet van de einsteinvergelijkingen

De einsteinvergelijkingen (373) stellen dat de einsteintensor evenredig is aan de energie-impuls tensor, $G_{\mu \nu} = {\rm constante} T_{\mu \nu}$. We willen de evenredigheidsfactor bepalen, door de zwakke-veld limiet te nemen. Hiertoe hoeven we enkel de $00$-component te beschouwen. We vinden dan

$$R_{00} - {1\over 2}Rg_{00} = {\rm constante} (T_{00}).$$ (380)

In de zwakke-veld limiet is ruimtetijd slechts weinig gekromd en bestaan er coördinaten waarvoor $g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}$ met $\vert h_{\mu \nu} \vert \ll 1$, terwijl de metriek stationair is. Er geldt dus $g_{00} \approx 1$. Verder kunnen we de definitie (340) van de krommingstensor gebruiken om $R_{00}$ te vinden. Er geldt

$$R_{00} = \partial_0 \Gamma_{~0\mu}^\mu - \partial_\mu \Gamma_{~00... ...ma_{~0\mu}^\nu \Gamma_{~\nu 0}^\mu - \Gamma_{~00}^\nu \Gamma_{~\nu \mu}^\mu .$$ (381)

In ons coördinatenstelsel zijn de $\Gamma_{~\nu \sigma}^\mu$ klein, zodat we de laatste twee terming in eerste-orde in $h_{\mu \nu}$ kunnen verwaarlozen. Ook is de metriek stationair in ons coördinatenstelsel, en vinden we

$$R_{00} \approx -\partial_i \Gamma_{~00}^i .$$ (382)

In onze discussie van de newtoniaanse limiet, hebben we in vergelijking (380) gevonden dat $\Gamma_{~00}^i \approx {1\over 2} \delta^{ij} \partial_j h_{00}$ in eerste-orde in $h_{\mu \nu}$. Dus geldt

$$R_{00} \approx -{1 \over 2} \delta^{ij} \partial_i \partial_j h_{00}.$$ (383)

We kunnen nu onze benaderingen voor $g_{00}$ en $R_{00}$ substitueren in vergelijking (386) en vinden in de zwakke-veld limiet

$${1\over 2} \delta^{ij} \partial_i \partial_j h_{00} \approx {\rm constante~} ( T_{00} - {1 \over 2}T).$$ (384)

We hebben hierbij gebruikt dat $R = {\rm constante~}T$ met $T \equiv T_\mu^\mu$, door vergelijking (373) met gemengde componenten te schrijven, $R_{\nu}^\mu - {1 \over 2} \delta_\nu^\mu R = {\rm constante~} T_\nu^\mu$, en deze te contraheren door $\mu = \nu$ te stellen (merk op dat $\delta_\mu^\mu = 4$).

Om voortgang te kunnen maken, moeten we nu iets aannemen over de soort materie die het zwakke gravitationele veld produceert. We nemen hiervoor een perfecte vloeistof. Voor de meeste klassieke materieverdelingen geldt $P/c^2 \ll \rho$ en we kunnen de energie-impuls tensor voor stof nemen. Er geldt

$$T_{\mu \nu} = \rho U_\mu U_\nu ,$$ (385)

en hiermee vinden we $T = \rho c^2$. Verder nemen we aan dat de deeltjes die de vloeistof vormen, snelheden $\vec U$ hebben die in ons coördinatenstelsel klein zijn ten opzichte van $c$. We doen de aanname $\gamma_U \approx 1$ en dus $U_0 \approx c$. Vergelijking (390) reduceert dan tot

$${1\over 2} \delta^{ij} \partial_i \partial_j h_{00} \approx {1\over 2} {\rm constante~} \rho c^2 .$$ (386)

We merken op dat $\delta^{ij} \partial_i \partial_j \nabla^2$. Verder hebben we met vergelijking (383) $h_{00} = 2\Phi / c^2$, met $\Phi$ de gravitatiepotentiaal. Als we de evenredigheidsconstante nu kiezen als ${\rm constante} = 8\pi G / c^4$, dan vinden we de poissonvergelijking voor newtoniaanse gravitatie (zie ook vergelijking (18))

$$\nabla^2 \Phi \approx 4\pi G \rho .$$ (387)

Deze identificatie verifieert onze aanname dat de evenredigheidsfactor tussen de einsteintensor en de energie-impuls tensor gelijk is aan $8\pi G/c^4$.