Zwarte gaten en afbuiging van licht

We hebben reeds in vergelijking (7) gezien dat de gravitatiekracht uitgeoefend door deeltje 1 op deeltje 2 gegeven wordt door

$$\vec F_{1,2} = -{Gm_1m_2 \over r_{1,2}^2}\hat r_{1,2},$$ (12)

waarbij $\hat r_{1,2} = {\vec r_{1,2} \over \vert \vec r_{1,2} \vert}$ een eenheidsvector is die wijst van deeltje 1 naar deeltje 2. We hebben bovenstaande uitdrukking gegeven als vectorrelatie; het minteken brengt de richting in rekening.

We beschouwen de situatie met $m_1 = m$ de massa van een deeltje en $m_2 = M$ de massa van een massief object, bijvoorbeeld de aarde. We stellen ons voor dat het deeltje in een cirkelbaan rond de aarde beweegt. Er geldt $a = F/m$ en dit betekent dat ${GM \over r^2}$ de versnelling van het deeltje is. Deze versnelling is centripetaal en we vinden dan

$$a = {v^2 \over r} = {GM \over r^2} ~~~~\rightarrow~~~~ v =v_{\rm cirkelbaan} = \sqrt{GM \over r}$$ (13)

voor de snelheid van een deeltje dat gravitationeel gebonden is in een cirkelvormige baan met straal $r$ rond een massief object met massa $M$.

Als we een deeltje van de aarde naar het oneindige brengen, dient er arbeid verricht te worden. Deze arbeid is gelijk (maar met een minteken) aan de potentiële energie $V$ van het deeltje (als we immers het deeltje vanuit het oneindige op de aarde laten vallen verkrijgt het kinetische energie en kan het weer arbeid verrichten). De hoeveelheid potentiële energie wordt gegeven door

$$V(r) = -\int_0^\infty \vec F \cdot d\vec s = -\int_0^\infty F\ha... ...dr = -\int_{r_0}^{r=\infty} \left( -{GmM \over r^2}\right) dr = -{GmM \over R}.$$ (14)

Omdat enkel veranderingen in potentiële energie relevant zijn, kunnen we altijd een constante $V_0$ erbij optellen. We kiezen deze constante zo, dat de potentiële energie gelijk is aan nul, $V=0$, als het deeltje oneindig ver van de aarde staat. In dit geval geldt dan $V_0 = 0$. We merken op dat vergelijkingen (12) en (14) toestaan om de gravitationele potentiaal in te voeren. Er geldt

$$\vec F_{\rm grav} = -m\nabla \Phi (\vec x ) ~~~~{\rm en~ook~} {d^2 \vec x \over dt^2} = -\nabla \Phi (\vec x),$$ (15)

waarbij $\vec F_{\rm grav}$ de kracht is op een deeltje met massa $m$ en op positie $\vec x$ ten gevolge van de gravitationele potentiaal $\Phi$ geproduceerd door een ander deeltje (met bijvoorbeeld massa $M$). Voor een enkel deeltje met massa $M$ gaf vergelijking (14) $\Phi (\vec x) = -GM/x$, en voor een continue massadichtheid $\rho (\vec x)$ geldt

$$\Phi (\vec x) = - \int {G\rho (\vec x^\prime ) \over \vert \vec x - \vec x^\prime \vert } d^3 x^\prime .$$ (16)

Het newtoniaanse gravitatieveld $\vec g$ wordt dan gedefinieerd door

$$\vec g(\vec x) \equiv - \nabla \Phi (\vec x) ,$$ (17)

waardoor we vinden

$$\nabla \cdot \vec g( \vec x ) = -4\pi G \rho (\vec x ) ~~\rightarrow ~~ \nabla^2 \Phi (\vec x ) = 4\pi G\rho (\vec x ) .$$ (18)

Hierin bedoelen we met $\nabla^2$ de laplace operator $\partial^2 / \partial x^2 + \partial^2 / \partial y^2 + \partial^2 / \partial z^2$. We noemen dit de poissonvergelijking van newtoniaanse gravitatie.

Een object, bijvoorbeeld een satelliet met massa $m$, dat in een willekeurige baan met straal $r$ rond de aarde (met massa $M$) draait heeft zowel kinetische energie $K$¹¹ als potentiële energie $V$. De som van beide, de totale energie $E = K+V$, is een behouden grootheid en dient constant te zijn. Er geldt

$$E={1 \over 2}mv^2 - {GmM \over r}.$$ (19)

Het object kan van de aarde ontsnappen als het oneindig ver weg kan zijn en dan toch nog een bepaalde kinetische energie heeft. Als het net ontsnapt, dan is de eindsnelheid gelijk aan nul. In dat geval geldt, wanneer de satelliet zich op een afstand $R$ van de aarde bevindt,

$${1 \over 2}mv_{\rm ontsnapping}^2 = {GmM \over R}~~~~\rightarrow ~~~~ v_{\rm ontsnapping} = \left( {2GM \over R} \right)^{1\over 2}.$$ (20)

Als we uitdrukking (13) met (20) vergelijking zien we dat $v_{\rm ontsnapping} = \sqrt{2}v_{\rm cirkelbaan}$.

De Deense sterrenkundige Olaf Roemer (1644 - 1710) gaf als eerste een goede schatting van de lichtsnelheid (hij vond 11 minuten per astronomische eenheid (AU)¹², terwijl de juiste waarde 8 minuten en 19 seconden is). Dit resultaat vond hij in 1675 door de eclipse van Jupiter's eerste satelliet te bestuderen voor verschillende posities van Jupiter relatief ten opzichte van de aarde.

De Britse natuurkundige John Mitchell (1724 - 1793) en de Franse wiskundige en natuurkundige Pierre Laplace (1749 - 1827) combineerden de eindige lichtsnelheid met het feit dat uit de wetten van Newton volgt dat geen object van een lichaam kan ontsnappen als haar snelheid minder is dan $(2GM/R)^{1 \over 2}$. Hieruit volgt dat ook licht niet kan ontsnappen van een lichaam waarvan de ontsnappingssnelheid groter is dan $c$. Dus als het mogelijk is om een lichaam met vaste massa $M$ kleiner te maken dan straal $R_g$, met

$$R_g = {2 GM \over c^2},$$ (21)

dan lijkt dit lichaam zwart voor de buitenwereld. Merk op dat deze limiet voor de straal, $R_g$, enkel afhangt van $M$ en de natuurconstanten $c$ en $G$. We noemen dit de gravitatiestraal van een lichaam met massa $M$. Het is precies de waarde die we in de algemene relativiteitstheorie vinden voor de straal van een zwart gat. Overigens verschilt het klassieke zwarte gat in belangrijke mate van een relativistisch zwart gat. In het klassieke geval komt het erop neer dat fotonen met de lichtsnelheid vertrekken, om vervolgens steeds meer snelheid te verliezen. Uiteindelijk wordt hun snelheid gelijk aan nul, draaien ze om en vallen vervolgens weer naar beneden.

Cavendisch was de eerste die in 1784 een formule afleidde voor de afbuiging van licht ten gevolge van de gravitatie van de zon. We zullen deze afbuiging afleiden uit het equivalentieprincipe. Beschouw licht dat de zon passeert. We weten dat licht een rechte lijn dient te volgen in het referentiesysteem van een vrij-vallende waarnemer. Omdat lokaal vrij-vallende waarnemers allemaal in de zon vallen, dient het licht continu zijn baan te buigen, zodat de baan recht lijkt voor al deze vrij-vallende locale waarnemers. We zullen de grootte van de afbuiging afschatten met behulp van de klassieke mechanica van Newton.

Figuur 5: Licht zal gravitationeel worden afgebogen als het een massief object zoals de zon passeert.

We beschouwen een enkele vrij-vallende waarnemer die initieel in rust is ten opzichte van de zon op het punt waar het licht het dichtst bij de zon is tijdens de passage. De afstand noemen we $d$. De versnelling van de waarnemer naar de zon bedraagt $g = GM/d^2$. Het licht reist met snelheid $c$ en het belangrijkste deel van de afbuiging treedt op gedurende een tijd $d/c$. Gedurende deze tijd bereikt de waarnemer een snelheid $v=gd/c=GM/cd$ loodrecht op de richting van het licht. Vanwege het equivalentieprincipe dient het licht een dergelijke transversale snelheid te krijgen. De hoekafbuiging is klein en er geldt $\tan{\alpha} = \alpha = {v \over c} = {GM \over c^2d}$ in radialen. De totale afbuiging dient het dubbele te zijn, omdat dezelfde afbuiging voor de inkomende lichtstraal ook geldt voor de uitgaande lichtstraal (zie Fig. 5). We vinden

$${\rm Newtoniaanse~afbuigingshoek} = 2\alpha = {2GM \over c^2d}.$$ (22)

Een exacte klassieke berekening geeft precies bovenstaand resultaat. Een berekening met de algemene relativiteitstheorie geeft echter een factor 2 grotere afbuiging. Een afbuiging van deze grootte werd in 1919 waargenomen door Britse astronomen onder leiding van Sir Arthur Eddington (1882 - 1944) en Frank W. Dyson (1868 - 1939). Deze bevestiging van de algemene relativiteitstheorie leidde tot de grote internationale doorbraak van Einstein.