next up previous contents
Next: Zwarte gaten en afbuiging Up: Klassieke mechanica Previous: Dopplereffect en gravitationele roodverschuiving   Contents

Satellieten en equivalentieprincipe


In het volgende zullen we enkele consequenties van de wetten van Newton bestuderen. We gebruiken het equivalentieprincipe om te verklaren hoe satellieten in hun baan blijven.

Figuur 4: Als we een voorwerp met snelheid $ v$ horizontaal lanceren, dan zal het bij voldoende snelheid een cirkelbaan rond de aarde beschrijven.
\includegraphics[width=10cm]{Figures/escape4.eps}
De positie en snelheidsvectoren van een deeltje dat een cirkelbaan beschrijft zijn gegeven in Fig. 4. De hoek $ \Delta \theta$ tussen $ \vec v(t)$ en $ \vec v(t+ \Delta t)$ is hetzelfde als tussen $ \vec r(t)$ en $ \vec r(t+\Delta t)$, omdat de plaats- en snelheidsvectoren over gelijke hoeken moeten roteren om onderling loodrecht te blijven. Een gelijkbenige driehoek wordt gevormd door de twee snelheidsvectoren en $ \Delta \vec v$. Een tweede gelijkbenige driehoek wordt gevormd door de twee plaatsvectoren en $ \Delta \vec r$. Om de richting van de versnellingsvector te vinden, beschouwen we de driehoek gevormd door de twee snelheidsvectoren en $ \Delta \vec v$. De som van de hoeken van elke driehoek is 180$ ^\circ$ en de basishoeken van elke gelijkbenige driehoek zijn gelijk. In de limiet dat $ \Delta t$ naar nul gaat, gaat $ \Delta \theta$ ook naar nul, en in deze limiet gaan beide basishoeken naar 90$ ^\circ$. Dit betekent dat $ \Delta \vec v$ loodrecht op de snelheid staat. Als we $ \Delta \vec v$ tekenen vanaf de positie van het deeltje dan wijst het in de centripetale richting, dus naar het middelpunt van de aarde.


De twee driehoeken zijn congruent en dus geldt $ {\vert \Delta \vec v \vert \over v}
= {\vert \Delta \vec r \vert \over r}$ (lengten van corresponderende zijden zijn evenredig). Delen door $ \Delta t$ en herschikken levert

$\displaystyle {\vert \Delta \vec v \vert \over \Delta t} =
 {v \over r}{\vert \Delta \vec r \vert \over \Delta t}.$ (10)

In de limiet dat $ \Delta t$ nul nadert, gaat de term $ {\vert \Delta \vec v \vert \over \Delta t}$ over in de versnelling $ a$, de grootte van de instantane versnelling, terwijl de term $ {\vert \Delta \vec r \vert \over \Delta t}$ de snelheid $ v$ benadert, de grootte van de instantane snelheid. Met deze substituties vinden we voor de centripetale versnelling, $ a_c$

$\displaystyle a_c = {v^2 \over r}.$ (11)

Een deeltje dat met veranderende snelheid in een cirkel beweegt heeft ook een versnellingscomponent $ a_t$ tangentiaal aan de cirkel gegeven door $ a_t = {dv \over dt}$.


In het volgende beschouwen we een satelliet die met constante snelheid in een cirkelbaan rond het centrum van de aarde over het oppervlak beweegt. De versnelling is nu gelijk aan $ g = 9,81$ m/s$ ^2$ en we vinden voor de snelheid $ a = {v^2 \over r} = g = 9,81$ m/s$ ^2$ met $ r = 6370$ km de waarde $ v=\sqrt{rg} = \sqrt{(6370~{\rm km})(9,81~{\rm m/s}^2)} = 7,91$ km/s. De omlooptijd bedraagt $ T = {2\pi r \over v} = {2\pi (6370~{\rm km}) \over 7,91~{\rm km/s}}
=5060$ s = 84,3 min.


Op grotere hoogte is de omlooptijd langer en bedraagt bijvoorbeeld 91 minuten op 300 km hoogte waar de Space Shuttle opereert. Astronauten in de Space Shuttle zijn gewichtsloos. Dit komt niet omdat op 300 km van het aardoppervlak het gravitatieveld van de aarde verwaarloosbaar is (dat is eenvoudig uit te rekenen met vergelijking (7)). Het is een perfecte demonstratie van het equivalentieprincipe: de Space Shuttle is in vrije val rond de aarde en dat veroorzaakt dat voorwerpen in de Space Shuttle zich gedragen alsof gravitatie afwezig is.


We willen het bovenstaande verder uitdiepen met het volgende voorbeeld. Stel we stappen in een stilstaande lift. De sensatie van gewicht komt doordat de vloer van de lift een kracht op ons uitoefent tegengesteld gericht aan de gravitatiekracht van de aarde. Als we de liftkabel doorknippen, dan valt de kracht van de vloer wel. We raken in vrije val, en dan verdwijnt de sensatie van gewicht volledig. De vloer van de lift, niet de gravitatiekracht, is verantwoordelijk voor ons gewicht. We kunnen dit argument omkeren: als we de lift naar boven versnellen, zullen we ons zwaarder gaan voelen. Als we in een geblindeerde lift zitten en we voelen ons gewichtloos, dan kunnen we niet onderscheiden of we in vrije val zijn op aarde of in de ruimte ver weg van graviterende objecten bevinden. Evenzo, als we wèl gewicht ervaren, weten we niet of dat komt doordat we in een stilstaande lift op aarde staan, of dat we in de verre ruimte naar boven worden versneld. Als gravitatie overal uniform zou zijn, kunnen we het niet onderscheiden van versnelling. Dit is de betekenis van het woord equivalentie in het equivalentieprincipe.


next up previous contents
Next: Zwarte gaten en afbuiging Up: Klassieke mechanica Previous: Dopplereffect en gravitationele roodverschuiving   Contents
Jo van den Brand 2009-01-31