Dopplereffect en gravitationele roodverschuiving

Stel dat Galileï samen met twee kanonskogels van de toren van Pisa was gevallen. Op weg naar beneden zouden de twee kogels eenvoudig in zijn nabijheid zijn gebleven. Ten opzichte van hem zouden de kogels zich gedragen alsof er helemaal geen krachten op werken. Als hij nu één van de kogels een zetje zou geven in een willekeurige richting, dan zou deze kogel ten opzichte van hem met uniforme snelheid langs een lijn in die richting bewegen. Zowel Galileï als de kogel versnellen ten opzichte van de aarde, maar als we over hun relatieve beweging spreken, dan kan deze gemeenschappelijke versnelling afgetrokken worden en houden we alleen een relatieve beweging over. Dit gebeurt enkel omdat voor gravitatie de versnelling van elk object in een gravitatieveld gelijk is. We kunnen het equivalentieprincipe nu ook als volgt formuleren: in een gravitatieveld gedragen alle voorwerpen zich zodanig dat ze volkomen vrij lijken te zijn van gravitatiekrachten als ze bekeken worden door vrij-vallende waarnemers. Voor een vrij-vallende waarnemer zijn de natuurwetten hetzelfde als die in de ruimte, ver van alle massieve objecten en hun gravitatievelden.

Bovenstaande formulering van het equivalentieprincipe maakt geen gebruik van begrippen als massa en versnelling en is bijzonder nuttig in het beschrijven van het effect van gravitatie op licht⁶. We kunnen het effect van gravitatie op licht nu vinden door te eisen dat het zich dient te gedragen alsof er geen gravitatie is als het wordt beschouwd door een vrij-vallende waarnemer. Dit betekent in het bijzonder dat het voor die waarnemer een rechte lijn dient te volgen zonder verandering in frequentie.

Figuur 2: Lichtgolven lopen van links naar rechts. Een detector meet het aantal golffronten dat passeert. De frequentie is het aantal golffronten dat per tijdseenheid gemeten wordt en hangt af van de snelheid van de detector.

In het algemeen wordt de frequentie van licht beïnvloed door de beweging van een waarnemer. Dit wordt de Dopplerverschuiving⁷ genoemd. We beschouwen licht als een golfverschijnsel met golflengte $\lambda$ en frequentie $f$. Hiervoor geldt de relatie $\lambda = {c \over f} = cT$ met $c$ de lichtsnelheid en $T$ de periode. De bovenste afbeelding in Fig. 2 toont de situatie voor een stilstaande detector. Alle golffronten in het interval $ct$ zijn de detector gepasseerd (vetgedrukte fronten). Als dit $N$ golffronten zijn, dan is de frequentie $f = {N \over t}$. In het onderste plaatje zijn slechts $N^\prime$ golffronten gedurende tijd $t$ de detector gepasseerd (vetgedrukte fronten), omdat de detector naar rechts beweegt. De verhouding ${N^\prime \over N}$ is hetzelfde als de verhouding van de lengten, ${(c-v)\over ct}=1-{v\over c}$. Hieruit volgt dat de meebewegende detector een lagere frequentie meet,

$$f^\prime = {N^\prime \over t} = (1-{v \over c}){N \over t} = (1-{v \over c})f.$$ (8)

Als de frequentie verandert, dan verandert de kleur van het licht. Als de lichtbron van ons af beweegt spreken van een roodverschuiving, terwijl we over een blauwverschuiving spreken als de bron naar ons toe beweegt.

We zijn nu in staat om de gravitationele effecten op licht af te leiden door te eisen dat licht zich dient te gedragen alsof er geen gravitatie is wanneer het wordt waargenomen door een vrij-vallende waarnemer⁸.

Figuur 3: Schematische weergave van het Pound-Rebka-Snider experiment voor de meting van de gravitationele roodverschuiving van fotonen door de aarde.

Hiertoe beschouwen we het Pound-Rebka-Snider experiment dat begin jaren 60 van de vorige eeuw is uitgevoerd op het Jefferson Physical Laboratory van Harvard. Het experiment is weergegeven in Fig. 3. In de figuur schijnt men een lichtbundel met frequentie $f_{\rm bron}$ vanaf de aarde naar boven. Een waarnemer staat op een toren met hoogte $h$ direct boven de bron en meet de frequentie van dit licht. Hij noemt deze frequentie $f_{\rm top}$. We gebruiken het equivalentieprincipe om de relatie tussen $f_{\rm bron}$ en $f_{\rm top}$ te bepalen⁹ en dat betekent het introduceren van nog een andere waarnemer die vrij-vallend is. Deze waarnemer valt van de top van de toren naar beneden op het moment dat het licht de bron verlaat. Een dergelijke vrij-vallende waarnemer ziet het licht alsof er geen gravitatie werkzaam is. Het licht beweegt voor hem in een rechte lijn en zonder frequentieverschuiving: op het moment dat hij begint met vallen, meet hij dezelfde frequentie als de waarnemer bij de bron. Volgens het equivalentieprincipe meet hij dezelfde frequentie even later als het licht de top bereikt. Het duurt een tijd $t = {h \over c}$ voordat het licht de top bereikt, en dan heeft deze waarnemer een instantane snelheid $v=gt={gh \over c}$. Ten opzichte van hem beweegt de waarnemer boven dan met snelheid $-v$ van hem af, hetgeen een Dopplerverschuiving met zich mee brengt. Het equivalentieprincipe en vergelijking (8) geeft ons nu direct

$$f_{\rm top} = f_{\rm bron} (1-{gh \over c^2}).$$ (9)

Voor de 22,6 m hoge toren van het Pound-Rebka-Snider experiment is het effect klein, $2,46 \times 10^{-15}$, maar het werd desalnietemin gemeten met een precisie van 1 %. Het effect is beduidend groter voor de satellieten van het Global Positioning System (GPS) die op ongeveer 20.200 km hoogte vliegen. Teneinde de navigatie nauwkeurigheid van ongeveer 15 m te bereiken dienen de GPS satellieten hun tijdsignalen te coördineren met een precisie van ongeveer 50 ns ( $={15 ~{\rm m} \over 3 \times 10^8~{\rm m/s}}$). Deze precisie is ongeveer 1000 groter dan de gravitationele roodverschuiving (ongeveer 40 $\mu$s). Zonder correcties op basis van de algemene relativiteitstheorie zouden GPS systemen een afwijking van kilometers per dag vertonen.

Het is belangrijk te begrijpen dat de roodverschuiving een eigenschap is van zowel het licht als de waarnemers. Dus licht op welke hoogte van de aarde dan ook heeft geen unieke frequentie. Als de frequentie gemeten wordt door waarnemers die stilstaan ten opzichte van de grond, dan meten we een roodverschuiving. Als de frequentie gemeten wordt door vrijvallende waarnemers, dan is er geen verschuiving.

De gravitationele roodverschuiving¹⁰ heeft directe consequenties voor het begrip tijd. Stel dat we twee klokken vervaardigen die gebaseerd zijn op het tellen van golffronten van een lichtbron. Elk golffront dat de detector passeert en geregistreerd wordt zien we als een tik van de klok. De gravitationele roodverschuiving heeft dan als consequentie dat voor een waarnemer in de toren zijn klok sneller tikt dan de klok die op aarde staat. Als hij na een dag met zijn klok naar beneden gaat en de klokken vergelijkt, ziet hij dat zijn klok met ongeveer 1 ns voorloopt, hetgeen tegenwoordig eenvoudig te meten is. Overigens geldt deze conclusie voor al zijn klokken, biologisch of fysisch.