De kosmologische constante

De einsteinvergelijkingen (373) zijn niet uniek. Einstein ontdekte al snel dat hij het niet mogelijk bleek om een statisch model van het universum te construeren op basis van de veldvergelijkingen. Deze vergelijkingen geven altijd oplossingen die corresponderen met een expanderend of contraherend heelal. Toen Einstein dit werk in 1916 uitvoerde was enkel onze melkweg bekend, en dat lijkt op een uniforme verdeling van vaste sterren. Door het invoeren van de kosmologische constante $\Lambda$ was Einstein in staat om statische modellen van het universum te creëren (maar die blijken allemaal instabiel te zijn). Later werd ingezien dat de melkweg slechts één van de vele sterrenstelsels is, terwijl in 1929 Edwin Hubble de uitdijing van het universum ontdekte. Hij bepaalde de afstanden en roodverschuivingen van nabij gelegen sterrenstelsels en zag dat het universum expandeert; zie Fig. 55. De kosmologische constante bleek niet nodig te zijn. Sterker nog, als Einstein meer vertrouwen had gehad in zijn vergelijkingen, had hij deze expansie van het universum kunnen voorspellen. Tegenwoordig hebben we een andere kijk op deze zaak, maar daarover later meer.

Figuur 55: Links: de snelheid van een sterrenstelsel is te bepalen uit het dopplereffect. De afstand wordt bepaald uit de helderheid van standaardkaarsen; rechts: het blijkt dat sterrenstelsels sneller van ons af bewegen naarmate ze verder weg staan. De hubbleconstante is $H_0 = 72$ km/s/Mpc. Sterrenstelsels bewegen door de ruimte, maar met `drijven' als het ware met de ruimte mee.

Wat Einstein deed was het volgende. We weten dat $\nabla_\mu G_{\mu \nu} = 0$ en ook $\nabla_\mu T_{\mu \nu} = 0$. Verder hebben we in vergelijkingen (290) en (310) gezien dat ook $\nabla_\mu g^{\mu \nu} = 0$. We mogen elke constante veelvoud van $g_{\mu \nu}$ optellen bij $G_{\mu \nu}$ en krijgen dan nog steeds een consistente verzameling veldvergelijkingen. Het is gebruikelijk om de evenredigheidsconstante aan te duiden met $\Lambda$, en we vinden dan

$$R_{\mu \nu} - {1 \over 2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = {8\pi G \over c^4} T_{\mu \nu},$$ (388)

waarbij $\Lambda$ een nieuwe universele natuurconstante is, die we de kosmologische constante noemen. Wat we hiermee opgeven is dat de `gemodificeerde einsteintensor' $\lq G_{\mu \nu}' = G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}$ niet meer gelijk is aan nul als ruimtetijd vlak is! Verder is $G_{\mu \nu}$ niet meer een rechtstreekse maat voor kromming.

Door vergelijking (394) weer met gemengde indices te schrijven en te contraheren vinden we $R = {8\pi G \over c^4}T + 4\Lambda$. Invullen in vergelijking (394) levert

$$R_{\mu \nu} = {8 \pi G \over c^4} \left( T_{\mu \nu} - {1 \over 2} Tg_{\mu \nu} \right) + \Lambda g_{\mu \nu}.$$ (389)

We volgen nu dezelfde procedure als in hoofdstuk 7.8 en vinden de veldvergelijkingen in de zwakke-veld limiet voor newtoniaanse gravitatie,

$$\nabla^2 \Phi = 4 \pi G \rho - \Lambda c^2 .$$ (390)

Voor een sferische massa $M$ vinden we het gravitatieveld

$$\vec g = \nabla \Phi = -{3GM \over 2r^2} \hat{\vec r} + {c^2 \Lambda r } \hat{\vec r} ,$$ (391)

en we zien dat de kosmologische term correspondeert met een gravitationele afstoting, waarvan de sterkte evenredig met $r$ toeneemt.

Tegenwoordig hebben we een andere kijk op de kosmologische constante. Merk op dat de energie-impuls tensor van een perfecte vloeistof gegeven wordt door

$$T^{\mu \nu} = \left( \rho + {P \over c^2} \right) U^\mu U^\nu - P g^{\mu \nu} .$$ (392)

We stellen ons voor dat er een bepaalde `substantie' is met een vreemde toestandsvergelijking $P - \rho c^2$. Een dergelijke substantie is iets wat we nog niet zijn tegengekomen, omdat het een negatieve druk heeft! De energie-impuls tensor voor deze substantie is

$$T_{\mu \nu} = -P g_{\mu \nu} = \rho c^2 g_{\mu \nu} .$$ (393)

Hierbij dienen we het volgende op te merken. Allereerst hangt de energie-impuls tensor voor deze vreemde substantie enkel van de metrische tensor af: het is derhalve een eigenschap van het vacuum zelf en we noemen $\rho$ de energiedichtheid van het vacuum. Ten tweede, de vorm van $T_{\mu \nu}$ is hetzelfde als die van de constante kosmologische term in vergelijking (394). We kunnen de kosmologische constante dus zien als een universele constante die de energiedichtheid van het vacuum bepaalt,

$$\rho_{\rm vacuum} c^2 = {\Lambda c^4 \over 8 \pi G}.$$ (394)

Als we de energie-impuls tensor van het vacuum aanduiden met $T_{\mu \nu}^{\rm vacuum} = \rho_{\rm vacuum} c^2 g_{\mu \nu}$, kunnen we de gemodificeerde veldvergelijkingen schrijven als

$$R_{\mu \nu} - {1 \over 2} R g_{\mu \nu}= {8 \pi G \over c^4} \left( T_{\mu \nu} + T_{\mu \nu}^{\rm vacuum} \right) ,$$ (395)

met $T_{\mu \nu}$ de energie-impuls tensor van de aanwezige materie of straling.

Als $\Lambda \neq 0$, dan dient hij op zijn minst zó klein te zijn dat $\rho_{\rm vacuum}$ verwaarloosbare gravitationele effecten heeft ( $\vert \rho_{\rm vacuum} \vert < \rho_{\rm materie}$ voor gevallen waarbij de newtoniaanse gravitatietheorie een goede beschrijving van de meetgegevens geeft. De systemen met kleinste dichtheid waarop de wetten van Newton worden toegepast, zijn kleine clusters van sterrenstelsels. Hiermee kunnen we de volgende limiet plaatsen

$$\vert \rho_{\rm vacuum}c^2 \vert = \vert {\Lambda c^4 \over 8 \pi G} \vert \leq \rho_{\rm cluster} \sim 10^{-29}~{\rm g/cm}^{-3}$$ (396)

op de waarde van de kosmologische parameter. Het is evident dat $\Lambda$ zó klein is, dat hij volledig onbelangrijk is op de schaal van een ster.

Figuur 56: De historie van de expansie van het universum. In het verleden was het effect van de massadichtheid belangrijker dan dat van de kosmologische constante en vertraagde de expansie van het universum. Echter als het volume van het universum toeneemt, dan neemt de dichtheid af. Het effect van de vacuumenergie is constant. Als het volume groot genoeg wordt, dan zal het universum voor altijd expanderen.

Hoe kunnen we de energiedichtheid van het vacuum berekenen? De eenvoudigste berekeningen sommeren de quantummechanische nulpuntsenergie van alle in de natuur bekende velden op. Het antwoord dat gevonden wordt is ongeveer 120 ordes van grootte hoger dan de bovengrens op $\Lambda$ die we net bepaald hebben. Dit is niet begrepen en er dient een fysisch mechanisme te bestaan dat de kosmologische constante klein maakt. Recente meetgegevens duiden erop dat de kosmologische constante niet precies gelijk is aan nul. De sterkste aanwijzing komt van metingen aan verre Type Ia supernovae, die zeggen dat de expansie van het universum op dit moment toeneemt. Dit wordt getoond in Fig. 56. Zonder kosmologische constante verwachten we dat door de aantrekkende kracht van alle materie in het universum, de expansie zou vertragen en misschien zelfs aanleiding zou geven voor een contractie van het universum. Als de kosmologische constante echter van nul verschilt, kan de negatieve druk van het vacuum veroorzaken dat het universum versnelt uitdijt.