Christoffelsymbolen en de metriek

Het formalisme dat we in de vorige sectie besproken hebben, heeft geen eigenschappen van de metrische tensor gebruikt in het opstellen van de covariante afgeleiden. De metriek kan vectoren veranderen in 1-vormen en omgekeerd, en we verwachten daarom dat deze een rol speelt in het verband tussen hun afgeleiden. In het geval van cartesische coördinaten zijn de componenten van de 1-vorm en de eraan gerelateerde vector gelijk, en omdat $\nabla$ dan enkel het nemen van afgeleiden van componenten is, moeten de componenten van de covariante afgeleide van de 1-vorm en vector gelijk zijn aan elkaar. Dit betekent dat als $\vec V$ een willekeurige vector is en $\tilde V = g(\vec V,~)$ de eraan gerelateerde 1-vorm, dan geldt in cartesische coördinaten

$$\nabla_\beta \tilde V = g(\nabla_\beta \vec V, ...).$$ (280)

Bovenstaande relatie is een tensorvergelijking en moet dus gelden in alle coördinaten. We concluderen dat

$$V_{\alpha ; \beta} = g_{\alpha \mu} V_{~;\beta}^\mu ,$$ (281)

hetgeen de componenten representatie is van vergelijking (286).

Als de hierboven gevolgde argumentatie niet bevredigend is, dan kunnen we er met vergelijkingen nog eens door heen lopen. De indices $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, ... geven cartesische coördinaten aan, terwijl de indices met accenten $\alpha^\prime$, $\beta^\prime$, $\gamma^\prime$, ... willekeurige coördinaten aangeven. We beginnen met het statement $V_{\alpha^\prime} = g_{\alpha^\prime \mu^\prime} V^{\mu^\prime}$, dat geldig is in elk coördinatenstelsel. Echter in cartesische coördinaten geldt $g_{\mu \nu} = \delta_{\mu \nu}$ en $V_\alpha = V^\alpha$. Nu is het ook zo dat in cartesische coördinaten de christoffelsymbolen allemaal gelijk zijn aan nul. Dus hebben we $V_{\alpha ; \beta} = V_{\alpha , \beta}$ en $V_{~;\beta}^\alpha = V_{~,\beta}^\alpha$. We kunnen daarom concluderen dat $V_{\alpha ; \beta} = V_{~;\beta}^\alpha$, enkel in cartesische coördinaten. Om dit om te zetten in een vergelijking die geldig is in alle coördinatenstelsels, merken we op dat in cartesische coördinaten geldt dat $V_{~;\beta}^\alpha = g_{\alpha \mu}V_{~;\beta}^\mu$, zodat, ook weer in cartesische coördinaten, geldt dat $V_{\alpha ; \beta} = g_{\alpha \mu} V_{~;\beta}^\mu$. Deze vergelijking is een tensorvergelijking, zodat geldigheid ervan in één coördinatenstelsel de geldigheid in alle stelsels impliceert. We vinden dan weer vergelijking (287),

$$V_{\alpha^\prime ; \beta^\prime} = g_{\alpha^\prime \mu^\prime}V_{~;\beta^\prime}^{\mu^\prime}.$$ (282)

Bovenstaand resultaat heeft verreikende consequenties. Als we de $\beta^\prime$ covariante afgeleide nemen van $V_{\alpha^\prime} = g_{\alpha^\prime \mu^\prime} V^{\mu^\prime}$, vinden we

$$V_{\alpha^\prime ; \beta^\prime} = g_{\alpha^\prime \mu^\prime ... ...^{\mu^\prime} + g_{\alpha^\prime \mu^\prime} V_{~;\beta^\prime}^{\mu^\prime}.$$ (283)

Als we uitdrukking (289) vergelijking met uitdrukking (288) dan vinden we dat moet gelden

$$g_{\alpha^\prime \mu^\prime ;\beta^\prime} = 0$$ (284)

in alle coördinatenstelsels. Dat is een directe consequentie van vergelijking (286). In cartesische coördinaten is $g_{\alpha \mu ;\beta} \equiv g_{\alpha \mu ,\beta} = \delta_{\alpha \mu ,\beta} = 0$ een triviale identiteit. Echter in andere coördinaten is dat niet zo voor de hand liggend. Dit laten we zien aan de hand van poolcoördinaten.

Voorbeeld: afgeleiden van de metrische tensor.

We starten met vergelijking (285), en schrijven

$$g_{\alpha \beta ; \mu} = g_{\alpha \beta , \mu} - \Gamma_{~\alpha \mu}^\nu g_{\nu \beta} - \Gamma_{~\beta \mu}^\nu g_{\alpha \nu} ,$$ (285)

waarbij de indices algemene coördinaten voorstellen. We werken nu een aantal termen uit in poolcoördinaten. Bijvoorbeeld stel dat $\alpha = r$, $\beta = r$ en $\mu = r$, dan vinden we

$$g_{r r ; r} = g_{rr , r} - \Gamma_{~r r}^\nu g_{\nu r} - \Gamma_{~rr}^\nu g_{r \nu} .$$ (286)

Omdat $g_{rr,r} = 0$ en $\Gamma_{~rr}^\nu = 0$ voor alle $\nu$, is dit triviaal gelijk aan nul. Niet zo triviaal is $\alpha = \theta$, $\beta = \theta$ en $\mu = r$. Dan vinden we

$$g_{\theta \theta ; r} = g_{\theta \theta , r} - \Gamma_{~\theta r}^\nu g_{\nu \theta} - \Gamma_{~\theta r}^\nu g_{\theta \nu} .$$ (287)

Met $g_{\theta \theta} = r^2$, $\Gamma_{~\theta r}^\theta = {1 \over r}$ en $\Gamma_{~\theta r}^r = 0$ wordt dit

$$g_{\theta \theta ; r} = (r^2)_{,r} - {1 \over r}(r^2) - {1 \over r}(r^2) = 0,$$ (288)

en we zien dat het werkt. Het is belangrijk in te zien dat dit direct volgt uit het feit dat $g_{\alpha \beta , \mu} = 0$ in cartesische coördinaten en dat $g_{\alpha \beta ; \mu}$ de componenten zijn van dezelfde tensor $\nabla g$ in willekeurige coördinaten.

Wat we hierboven gedaan hebben is het introduceren van covariante differentiatie in willekeurige coördinaten door ons begrip van parallelheid in de euclidische ruimte te gebruiken. We hebben laten zien dat de metriek van de euclidische ruimte covariant constant is, vergelijking (290). Als we gekromde ruimten gaan behandelen, dienen we voorzichtig te zijn met het begrip parallelheid, maar vergelijking (290) zal blijken nog steeds te gelden, en dus ook alle consequenties ervan die we nu gaan bespreken.