Wiskunde II - Curvelineaire coördinaten

Het wiskundige apparaat dat we dienen te ontwikkelen voor de beschrijving van de algemene relativiteitstheorie is formidabel. Voordat we gekromde ruimtetijd gaan bestuderen, bekijken we eerst curvelineaire coördinaten in de euclidische ruimte. Hierdoor kunnen we een fors deel van de wiskundige machinerie te ontwikkelen in een vertrouwde situatie. Daarna is de stap naar gekromde ruimten relatief eenvoudig.

In cartesische coordinaten geven we een punt $\mathcal{P}$ in de vlakke 2D euclidische ruimte aan met coördinaten $x$ en $y$. We kunnen ook een ander coördinatenstelsel gebruiken dat we waarbij we $\mathcal{P}$ aangeven met $\xi$ en $\eta$. Dan geldt volgens vergelijking (88) voor de afstand tussen twee nabij gelegen punten,

Wiskundig is het belangrijk dat de afbeelding één op één is en dat vereist dat de Jacobiaan van de coördinatentransformatie ongelijk is aan nul⁶⁰. Dus

$${\rm det} \left( \begin{array}{cc} {\partial \xi / \partial x} ... ... / \partial x} & {\partial \eta / \partial y} \\ \end{array} \right) \neq 0.$$ (237)

We beginnen met een beschouwing over poolcoördinaten.

Voorbeeld: poolcoördinaten in het euclidische vlak.

In het euclidische 2D-vlak kunnen we de cartesische coördinaten $x$ en $y$ of de poolcoödinaten $\{ r,\theta \}$ gebruiken. Er geldt $r=\sqrt{x^2+y^2}$ en $\theta = {\rm arctan}~{y \over x}$, en de inverse relaties $x=r\cos{\theta}$ en $y=r\sin{\theta}$. Kleine veranderingen $\Delta x$ en $\Delta y$ produceren veranderingen $\Delta r$ en $\Delta \theta$ volgens

$$\begin{array}{rcrcl} \Delta r & = & {x \over r} \Delta x + {... ...\Delta x + {1 \over r} \cos{\theta} \Delta y , \\ \end{array}$$ (238)

in eerste orde benadering.